스피너: 두 판 사이의 차이
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디랙 스피너 중, 그 왼손과 오른손 부분이 서로 에르미트적으로 관련이 있는 것을 [[에토레 마요라나]]의 이름을 따 '''마요라나 스피너'''라고 한다. 마요라나 입자는 질량을 가질 수 있으며, 스스로의 반입자이다.
=== 바일 스피너의 표기 ===
바일 스피너의 경우, [[입자물리학]]에서는 다음과 같은 표기법을 사용한다.<ref name="DHM">{{저널 인용|arxiv=0812.1594|제목=Two-component spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and supersymmetry|이름=Herbi K.|성=Dreiner|이름2=Howard E.|성=Haber|이름3=Stephen P.|성3=Martin|언어고리=en}}</ref>
이 표기법에서, 그리스 소문자 <math>\alpha,\beta,\dots</math> 및 점을 찍은 그리스 소문자 <math>\dot\alpha,\dot\beta,\dots</math> 첨자는 1 또는 2의 값을 가지며, 바일 스피너의 두 성분을 나타낸다. 이 경우, <math>\alpha,\beta,\dots</math>는 왼손 표현 (½,0), <math>\dot\alpha,\dot\beta,\dots</math>는 오른손 표현 (0,½)를 나타낸다. 보통, 왼손 바일 스피너는 열벡터, 오른손 바일 스피너는 행벡터로 나타낸다.
[[크로네커 델타]]로 올리거나 내리는 [[4차원 벡터]] 지표와 달리, 스피너 지표는 [[레비치비타 기호]] <math>\epsilon</math>으로 올리거나 내린다. 구체적으로, 바일 스피너에서 아랫첨자와 윗첨자 사이를 변환하려면 다음과 같다.
:<math>\psi_\alpha=\epsilon_{\alpha\beta}\psi^\beta</math>
:<math>\psi^\alpha=\epsilon^{\alpha\beta}\psi_\beta</math>
:<math>\psi^\dagger_{\dot\alpha}=\epsilon_{\dot\alpha\dot\beta}\psi^\beta</math>
:<math>\psi^{\dagger\alpha}=\epsilon^{\dot\alpha\dot\beta}\psi^\dagger_\beta</math>
여기서 <math>\epsilon</math>은 [[레비치비타 기호]]로, 다음과 같다.
:<math>\epsilon^{12}=\epsilon^{\dot1\dot2}=+1,\;\epsilon^{21}=\epsilon^{\dot2\dot1}=-1</math>
:<math>\epsilon_{12}=\epsilon_{\dot1\dot2}=-1,\;\epsilon^{21}=\epsilon^{\dot2\dot1}=+1</math>
열벡터인 왼손 바일 스피너에 [[에르미트 수반]]을 취하면 다음과 같이 오른손 바일 스피너를 얻는다. 첨자에 점이 추가되지만, 그 위치가 변하지 않는 것을 알 수 있다.<ref name="DHM"/>{{rp|(2.17)}}
:<math>(\psi_\alpha)^\dagger=\psi^\dagger_{\dot\alpha}</math>
이 표기법에서, [[파울리 행렬]]의 지표는 다음과 같다.
:<math>\sigma^\mu=(1,\sigma^i)</math>
:<math>\bar\sigma^\mu=(1,-\sigma^i)</math>
로 정의하면, 이들에 부여되는 첨자는 다음과 같다.
:<math>\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}</math>
:<math>\bar \sigma^{\mu\alpha\dot\beta}</math>
스피너 지표에 대하여 [[아인슈타인 표기법]]이 적용된다. 또한, 다음과 같은 쌍의 지표가 존재한다면, 생략할 수 있다.
:<math>{}^\alpha{}_\alpha</math>
:<math>{}_{\dot\alpha}{}^{\dot\alpha}</math>
즉, 점이 없는 지표는 하강하는 쌍을, 점이 있는 지표는 상승하는 쌍을 생략한다. 예를 들어,
:<math>\psi\psi=\psi^\alpha\psi_\alpha=\psi^\alpha\epsilon_{\alpha\beta}\psi^\beta=\epsilon^{\alpha\beta}\psi_\alpha\psi_\beta=\psi^2\psi^1-\psi^1\psi^2=\psi_1\psi_2-\psi_2\psi_1</math>
:<math>\psi^\dagger\psi^\dagger=\psi^\dagger_{\dot\alpha}\psi^{\dagger\dot\alpha}=\psi^\dagger_{\dot\alpha}\epsilon^{\dot\alpha\dot\beta}\psi^\dagger_{\dot\beta}=\epsilon^{\dot\alpha\dot\beta}\psi^{\dagger\dot\alpha}\psi^{\dagger\dot\beta}=\psi^\dagger_{\dot1}\psi^\dagger_{\dot2}-\psi^\dagger_{\dot2}\psi^\dagger_{\dot1}=\psi^{\dagger\dot2}\psi^{\dagger\dot1}-\psi^{\dagger\dot1}\psi^{\dagger\dot2}</math>
이다.
==현상론==
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