스털링 근사: 두 판 사이의 차이
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[[파일:Stirling's Approximation.svg|thumb|400px|right|ln ''x''! 과 ''x'' ln ''x'' − ''x''의 그래프. ''x''가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 [[1]]로 수렴한다.]]
{{미적분학}}
[[수학]]에서, '''스털링 근사'''({{llang|en|Stirling’s approximation}}) 또는 '''스털링 공식'''({{llang|en|Stirling’s formula}})은 큰 [[계승]]을 구하는 근사법이다.
== 정의 ==
매우 큰 <math>n</math>에 대하여, 다음과 같은 공식이 성립한다.
:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n</math>
:<math>\ln n!\sim n(\ln n-1)+\frac12\ln(2\pi n)</math>
이는 구체적으로 다음을 말한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{n!}\sqrt{2\pi n}(n/e)^n=1</math>
구체적으로, 모든 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 다음과 같은 [[상계]]와 [[하계]]가 존재한다.
:<math>\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}\exp(-n) \le n! \le e\ n^{n+1/2}\exp(-n)</math>
=== 스털링 급수 ===
스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 '''스털링 급수'''({{llang|en|Stirling series}})를 정의할 수 있다.
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac1{12n}+\frac1{288n^2} + \cdots \right) </math>
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. {{OEIS|A1163}}, {{OEIS|A1164}}
:1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, …
로그로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\ln(n!)\sim n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) +\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\cdots\cdots</math>
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. {{OEIS|A46968}}, {{OEIS|A46969}}
:1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, …
스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 [[점근 전개]](asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 ''n''에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 ''n''에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.
== 역사 ==
[[아브라암 드무아브르]]는 《해석학 잡론》({{llang|la|Miscellanea Analytica}}, 1판 1730년, 2판 1733년)의 2판<ref>{{서적 인용|제목=Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variæ considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quæ in motibus corporum cœlestium occurrunt|이름=Abraham|성=de Moivre|위치=[[런던]]|출판사=J. Tonson and J. Watts|판=2|날짜=1733|언어고리=la}}</ref> 에 추가된 부록에서 [[정규 분포]]를 다루기 위하여 [[계승]]을
:<math>n!\sim Bn^{n+1/2} e^{-n}</math>
과 같은 꼴로 근사하였고, 또 비례 상수 <math>B</math>를
:<math>\ln B\approx1-1/12+1/360-1/1260+1/1680</math>
로 근사하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Pearson |first=Karl | 저자고리=칼 피어슨 |날짜=1924-12|title=Historical note on the origin of the normal curve of errors |journal=Biometrika |volume=16 |pages=402–404 |jstor=2331714|doi=10.2307/2331714|언어고리=en}}</ref> 이는
:<math>B^2/2\approx 3.1435\cdots</math>
이다. 드무아브르의 근사는 《확률론》({{llang|en|The Doctrine of Chances}}, 1판 1718년, 2판 1738년, 3판 1756년) 제2판<ref>{{서적 인용|이름=Abraham|성=de Moivre|제목=The Doctrine of Chances: or, A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play|판=2|날짜=1738|위치=[[런던]]|출판사=H. Woodfall|url=http://books.google.com/books?id=PII_AAAAcAAJ|언어고리=en}}</ref> 에서도 등장한다.<ref>{{저널 인용 |doi=10.1214/ss/1177013818 |last=Le Cam |first=L. |title=The central limit theorem around 1935 |journal=Statistical Science |volume=1 |issue=1 |pages=78–96 [p. 81] |year=1986 |quote=The result, obtained using a formula originally proved by de Moivre but now called Sterling's formula, occurs in his ‘Doctrine of Chances’ of 1733.|issn=0883-4237 |언어고리=en }}</ref>
[[제임스 스털링 (수학자)|제임스 스털링]]은 상수 <math>B</math>가 <math>B^2/2=\pi</math>임을 보였다. 이후 [[자크 비네]]({{llang|fr|Jacques Binet}})가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다.
== 증명 ==
=== 개략적인 증명 ===
먼저 <math>\ln n!</math>을 로그의 성질에 의해 전개하자.
:<math>\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln n = \sum^{n}_{k=1} \ln k</math>
<math>n</math>이 크다면, [[리만 합]]과 유사한 논리에 의해 합을 적분으로 근사할 수 있다.
:<math>\sum^{n}_{k=1} \ln k \approx \int^n_1 \ln x dx</math>
이제 적분을 계산하면 다음과 같다.
:<math>\int^n_1 \ln x dx = \left[x \ln x - x \right]^n_1 = (n \ln n - n) - (1 \cdot 0 - 1) = n \ln n - n +1 </math>
을 얻고, <math>n \gg 1</math>이므로 맨 끝의 1을 떼어버리면 가장 간단한 형태의 스털링 근사를 얻는다.
:<math>\ln n! \approx n \ln n - n</math>
=== 더 엄밀한 증명 ===
증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 [[감마 함수]]를 사용하자. <math>n</math>이 자연수일 때, 다음이 성립한다.
피적분 함수의 형태를 보면, [[감마분포]]를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 <math>n</math>이 매우 클 경우, [[중심 극한 정리]]에 의해 [[정규 분포]]로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜▼
:<math>n! = \Gamma (n+1) = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx</math>
▲피적분 함수의 형태를 보면, [[감마분포]]를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 <math>n</math>이 매우 클 경우, [[중심 극한 정리]]에 의해 [[정규 분포]]로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면
:<math>x^n e^{-x} = e^{n \ln x -x} </math>
가 된다. 이제 <math>y \,\equiv\, x - n</math> 이라 하고 계속 식을 전개해 나가면,
:<math>
\begin{align}
n \ln x - x &= n \ln (n + y) -n -y\\
&= n \ln \left[ n \left( 1 + {y \over n} \right) \right] - n -y\\
&= n \ln n - n + n \ln \left( 1 + {y \over n} \right) -y
\end{align}
</math>
정규분포의 [[확률 밀도 함수]]의 형태를 얻기 위해 로그를 [[테일러 전개]]를 해서 2차항까지만 취하면 (최댓값 근처에서 <math>y \ll n</math> 이므로 가능 )
:<math>\ln \left( 1 + {y \over n} \right) \approx {y \over n} - {1 \over 2 } \left({y \over n} \right)^2</math>
이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규 분포의 확률 밀도 함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.
:<math>x^n e^{-x} \approx n^n e^{-n} e^{-y^2 \over 2n} </math>
감마 분포를 정규 분포로 근사하였므로, <math>y</math>가 음수인 영역은 거의 0에 가깝다. 따라서 전 <math>y</math>에 대해서 모두 적분하면, 아래의 스털링 근사를 얻는다.
:<math>n! = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx \approx n^n e^{-n} \int^\infty_{-\infty} e^{-y^2 \over 2n } dy = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n} </math>
== 응용 ==
스털링 근사는 [[통계역학]]에서 흔히 등장하는 매우 큰 [[계승]]을 근사할 때 쓰인다. 거시적인 크기의 계에서의 입자 수는 보통 [[아보가드로 수]](≈6{{e|23}})에 견줄 만하므로, 스털링 근사가 효과적이다.
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* Abramowitz, M. and Stegun, I., ''Handbook of Mathematical Functions'', http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm
* Paris, R. B., and Kaminsky, D., ''Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals'', Cambridge University Press, 2001
* Whittaker, E. T., and Watson, G. N., ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3
== 바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=StirlingsApproximation.html|title=Stirling’s approximation}}
* {{eom|title=Stirling formula|first= E.D.|last=Solomentsev}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/encyclopedia/StirlingsApproximation.html|제목=Stirling's approximation|작품명=PlanetMath}}
[[분류:점근 해석]]
[[분류:해석적 수론]]
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