2015년 11월 17일 (화) 04:44 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 ← 이전 편집		2015년 11월 17일 (화) 05:25 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
5번째 줄: [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 매끄러운 실수 [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. <math>E</math>의 [[매끄러운 함수\|매끄러운]] [[단면 (올다발)\|단면]]들의 [[실수 벡터 공간]]을 <math>\Gamma(E)</math>라고 하자. <math>E</math> 위의 '''(코쥘) 접속'''(Koszul接續, {{llang\|en\|Koszul connection}}) 또는 '''공변 미분'''(共變微分, {{llang\|en\|covariant derivative}})은 다음 조건을 만족시키는 [[선형 변환]] :<math>\nabla\colon\Gamma(E)\to\Gamma(T^M\otimes_{\mathbb R}E)</math> 이다. 11번째 줄: :<math>\nabla(fs)=f(\nabla s)+df\otimes s</math> 여기서 <math>T^M</math>은 <math>M</math>의 [[공변접다발]]이며, <math>df\in\Gamma(T^M)=\Omega^1(M)</math>은 <math>f</math>의 [[외미분]]으로 얻은 [[1차 미분 형식]]이다. 이는 일반적 [[올다발]] 위의 [[접속 (수학)\|접속]]의 개념의 특수한 예이며, 접속이 벡터 다발의 선형 구조와 호환되는 경우이다. <math>M</math> 위의 '''아핀 접속'''은 그 [[접다발]] <math>TM</math> 위의 접속이다. 아핀 접속을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]를 '''아핀 다양체'''(affine多樣體, {{llang\|en\|affine manifold}})라고 한다. 임의의 벡터장 <math>X\in\Gamma(TM)</math>에 대하여, :<math>\nabla_X\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)</math> :<math>\nabla_X\colon s\mapsto \langle X,\nabla s\rangle</math> 를 정의할 수 있다. 이를 <math>E</math>의 단면의 <math>X</math>방향의 '''공변 미분'''이라고 한다. === 곡률 === [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 접속 <math>\nabla</math>의 '''곡률'''(曲率, {{llang\|en\|curvature}}) <math>F^\nabla\in\Omega^2(M;\operatorname{End}E)</math>는 다음과 같이 정의되는, <math>\operatorname{End}E\cong E\otimes E^</math>값의 [[2차 미분 형식]]이다. :<math>F^\nabla(X,Y)\colon s\mapsto\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s\qquad\forall X,Y\in\Gamma(TM),\;s\in\Gamma(E)</math> 여기서 <math>[X,Y]</math>는 벡터장의 [[리 미분]]이다. 이는 일반적 [[올다발]] 위의 [[접속 (수학)\|접속]]의 곡률의 특수한 경우이다. 곡률이 0인 접속을 '''평탄 접속'''({{llang\|en\|flat connection}})이라고 한다. 접다발의 접속의 곡률은 '''[[리만 곡률]]'''이라고 하며, 이는 (3,1)-[[텐서장]]으로 여길 수 있다. == 성질 == <math>\nabla s</math>의, <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s</math>의 <math>x</math> [[근방]]의 값에만 의존한다. 위의 조건 (1)로부터 ∇<sub>X</sub>Y의 점 x ∈ M에서의 값은 X의 x에서의 값에만 의존하며 M-{x}에서의 값에는 무관함을 할 수 있다. 또한 조건 (2)로부터 ∇<sub>X</sub>Y의 점 x ∈ M에서의 값은 Y의 x 근방에서의 값에만 의존함을 알 수 있다. [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 두 접속 <math>\nabla^1</math>, <math>\nabla^2</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, :<math>\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma(E)\to\Gamma(T^M\otimes E)</math> 는 매끄러운 [[다발 사상]]을 이룬다. 즉, <math>(\nabla^1-\nabla^2)(s)</math>의 <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s(x)\in E_xM</math>에만 의존한다. == 예 == ∇<sup>1</sup>과 ∇<sup>2</sup>가 아핀 접속일 때, ∇<sup>1</sup><sub>X</sub>Y - ∇<sup>2</sup><sub>X</sub>Y의 점 x에서의 값을 Γ<sub>x</sub>(X<sub>x</sub>,Y<sub>x</sub>)로 쓰자. 이때 === 자명한 벡터 다발 위의 접속 === ~~::''Γ''<sub>''x''</sub>: T<sub>''x''</sub>''M'' × T<sub>''x''</sub>''M'' → T<sub>''x''</sub>''M''~~ [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 자명한 벡터 다발 <math>E=M\times\mathbb R^k\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathbb R^k</math>의 [[기저 (선형대수학)\|기저]]를 <math>\{e_1,\dots,e_k\}</math>라고 하자. 그렇다면, <math>E</math>의 단면은 [[매끄러운 함수]]로 생각할 수 있다. ~~:는 이중선형이며 x에 매끄럽게 의존한다. (즉, 이는 매끄러운 [[다발 준동형사상]]이 된다.)~~ :<math>\Gamma(E)\cong\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^n)</math> 이 경우, <math>E</math> 위의 모든 접속은 다음과 같은 꼴이다. :<math>\nabla\colon s\mapsto ds+\omega(s)</math> 여기서 :<math>\omega\in\Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{End}(\mathbb R^n)</math> 는 [[1차 미분 형식]]의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]이며, :<math>ds=\sum_ie_id\langle e_i,s_i\rangle\in\Gamma(T^M\otimes E)</math> 는 <math>s\colon M\to\mathbb R^n</math>의 각 벡터 성분에 대한 [[외미분]]이다. 이 경우, :<math>(\omega)^i{}_j=\langle e_j,\nabla e_j\rangle</math> 를 <math>e_i</math>의 '''접속 형식'''({{llang\|en\|connection form}})이라고 한다. 보다 일반적으로, 임의의 벡터 다발의 경우 국소적 자명화를 (비표준적으로) 잡을 수 있으며, 위와 같이 접속 형식을 정의할 수 있다. 물론 이는 선택한 국소적 자명화에 의존하며, 또 일반적으로 대역적으로 정의될 수 없다. M이 '''R'''<sup>n</sup>의 열린 부분집합일 때, M의 접다발은 [[자명한 다발]] M×R<sup>n</sup>이 되며, 따라서 임의의 벡터장 Y를 M에서 '''R'''<sup>n</sup>으로의 매끄러운 함수 V로 나타낼 수 있다. 이때 M에서 '''R'''<sup>n</sup>으로의 매끄러운 함수 dV(X)=∂<sub>X</sub>Y에 대응되는 벡터장을 d<sub>X</sub>Y로 쓰면 d는 M 상의 자연스러운 아핀 접속이 된다. 임의의 다른 아핀 접속 ∇는 d + Γ로 나타낼 수 있다. (여기에서 Γ는 [[접속 형식]].) === 레비치비타 접속 === *보다 일반적으로, 접다발의 [[국소적 자명화]]는 TM을 M의 열린 집합 U로 제한시킨 것으로부터 M×R<sup>n</sup>로의 [[올 동형사상]]이다. 아핀 접속 ∇를 U로 제한시킨 것은 적절한 접속 형식 Γ에 대해 d + Γ로 나타낼 수 있다. {{본문\|레비치비타 접속}} [[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에는 [[리만 계량]]으로부터 [[레비치비타 접속]]이라는 아핀 접속을 표준적으로 정의할 수 있다. == 역사 ==

코쥘 접속: 두 판 사이의 차이