스핀 다양체: 두 판 사이의 차이

 

==스핀 구조==

* <math>\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin}}</math>

* 임의의 <math>x\in P_{\operatorname{Spin}}</math>, <math>h\in\operatorname{Spin}(n)</math>에 대하여 <math>p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)</math>이다. (여기서 <math>\cdot</math>은 적절한 [[군의 작용]]이다.) 즉 군의 작용은 <math>p</math>와 가환한다.

여기서 <math>\rho\colon\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)</math>은 [[군 준동형]]이고, <math>\pi_{\operatorname{SO}}\colon P_{\operatorname{SO}}(M)\to M</math>은 <math>M</math>의 [[접다발]] <math>TM</math>의 [[계량 텐서]] <math>g</math>에 대하여 불변인 회전 ([[로런츠 변환|로런츠]]) 변환으로 이루어진 <math>SO(n)</math> (또는 부호수에 따라 <math>SO(n-k,k)</math>) [[주다발]]이다.

 

 

<math>n</math>차원의 (적절한 부호수를 지닌) [[스피너]]의 복소 [[벡터 공간]]을 <math>\Delta</math>이라고 부르자. [[스핀 군]]은 스피너 공간에 [[유니터리 군|유니터리]]하게 작용한다. 즉 <math>\kappa\colon\operatorname{Spin}(n)\to\mathrm U(\Delta)</math>이다. 이에 따라, 그 [[올다발|올]]이 <math>\Delta</math>인 복소 [[벡터 다발]]

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.

* 종수 ''g''의 콤팩트 [[리만 곡면]]은 2^2''g''개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 '''[[세타 지표]]'''({{llang|en|theta characteristic}})라고 불린다.

* [[초구]] ''Sⁿ''는 모두 스핀 구조를 갖는다.

* 홀수 차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^{2k+1}</math>은 스핀 구조를 갖는다.

 

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.

* 모든 [[개복소 다양체]]는 스핀C 구조를 갖는다.

* 모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.