리만 다양체: 두 판 사이의 차이
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[[반단순 리 군]]의 경우, [[킬링 형식]]은 [[양의 정부호]]이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다.
[[리만 다양체]] <math>(M,g_M)</math>과 그 속의 [[몰입 (수학)|몰입]]된 부분 다양체 <math>\iota\colon N\hookrightarrow M</math>가 주어졌다면, <math>M</math> 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>g_M(X,Y)=g_M(d\iota(X),d\iota(Y))\qquad\forall x\in N,\;X,Y\in T_xN</math>
여기서 <math>d\iota(X)\in T_{\iota(x)}N</math>는 <math>X</math>의 [[밂]]이다. 따라서 <math>(M,g_M)</math>은 리만 다양체를 이룬다.
=== 확장 불가능 완비 다양체 ===
3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 [[원뿔]]을 생각하자.
:<math>\{(x,y,z)\colon x^2+y^2=z^2,\;z>0\}</math>
이는 확장 불가능 [[리만 다양체]]를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 [[리만 다양체]]를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 [[측지선]]은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다.
== 역사 ==
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