모노이드: 두 판 사이의 차이
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{{대수 구조|expanded=군}}
[[추상대수학]]에서, '''모노이드'''({{llang|en|monoid}})는 [[항등원]]을 갖는, [[결합 법칙]]을 따르는 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]이다. [[군 (수학)|군]]의 정의에서 역원의 존재를 생략하거나, [[반군 (수학)|반군]]의 정의에서 항등원의 존재를 추가하여 얻는다.
== 정의 ==
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=== 가환 모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''가환 모노이드'''(可換monoid, {{llang|en|commutative monoid}})라고 한다.
:임의의 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>mn=nm</math>
가환 모노이드인 [[군 (수학)|군]]은 [[아벨 군]]이다.
== 예 ==
모든 [[군 (수학)|군]]은 모노이드를 이룬다. 모든 (곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>(R,+,\cdot)</math>은 덧셈 연산을 잊으면 <math>(R,\cdot)</math>은 모노이드를 이룬다. (곱셈 연산을 잊으면 <math>(R,+)</math> 역시 [[아벨 군]]이므로 모노이드를 이룬다.)
유계 [[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>의 경우, <math>(L,\vee)</math> 및 <math>(L,\wedge)</math> 둘 다 모노이드를 이룬다. <math>(L,\wedge)</math>의 항등원은 <math>\bot</math> ([[최소 원소]])이며, <math>(L,\vee)</math>의 항등원은 <math>\top</math> ([[최대 원소]])이다.
[[자연수]](음이 아닌 [[정수]])의 집합 <math>\mathbb N</math>은 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>은 덧셈에 대하여 가환 [[반군 (수학)|반군]]을 이루지만 가환 모노이드를 이루지 않는다.)
정수 집합의 다음과 같은 부분 집합들은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.
* 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>
* 자연수의 집합 <math>\mathbb N=\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>
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=== 자유 모노이드 ===
모노이드의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로, [[자유 대수]]를 정의할 수 있다. 이를 '''자유 모노이드'''(自由monoid, {{llang|en|free monoid}})라고 한다. [[집합]] <math>S</math>로부터 생성되는 자유 모노이드는 그 [[클레이니 스타]] <math>S^*</math>와 같다. 즉, <math>S^*</math>의 원소는 <math>S</math>를 알파벳으로 하는 [[문자열]]이며, 모노이드 연산은 문자열의 이음이다. 모노이드 연산의 항등원은 길이가 0인 유일한 문자열이다.
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Monoid}}
* {{매스월드|id=Monoid|title=Monoid}}
* {{매스월드|id=CommutativeMonoid|title=Commutative monoid}}
* {{매스월드|id=Submonoid|title=Submonoid}}
* {{매스월드|id=FreeIdempotentMonoid|title=Free idempotent monoid}}
* {{nlab|id=monoid|title=Monoid}}
* {{nlab|id=category of monoids|title=Category of monoids}}
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