아벨 범주: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
아벨 범주의 개념은 자기 쌍대 개념이다. 즉, 아벨 범주의 [[반대 범주]]는 항상 아벨 범주이다. 아벨 범주는 정의에 따라 [[유한 완비 범주]]이자 [[유한 쌍대 완비 범주]]이지만, [[완비 범주]]나 [[쌍대 완비 범주]]일 필요는 없다.
아벨 범주에서는 [[완전열]]과 [[분할 완전열]], [[완전 함자]], [[유도 함자]] 등의 개념을 정의할 수 있으며, 또한 [[뱀 보조정리]] 등이 성립한다.
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</math>
이 경우, <math>\iota</math>를 <math>f</math>의 '''[[상 (수학)|상]]'''({{llang|en|image}}), <math>\pi</math>를 <math>f</math>의 '''여상'''(剩像, {{llang|en|coimage}})이라고 한다.
=== 부분 대상 ===
아벨 범주 속에서, 임의의 대상 <math>A</math>의 [[부분 대상]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(A)</math>는 항상 [[유계 격자]]를 이룬다.
=== 미첼 매장 정리 ===
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=== 가군 ===
보다 일반적으로, 1을 가진 환 <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]들과 [[가군 준동형]]들의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> (또는 [[오른쪽 가군]]들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R\cong{}_{R^{\operatorname{op}}}\operatorname{Mod}</math>)은 아벨 범주를 이룬다. [[아벨 군]]은 정수 <math>\mathbb Z</math>에 대한 가군이므로, 이는 아벨 군의 범주를 일반화한 것이다.
<math>R</math>가 [[왼쪽 뇌터 환]]이라고 하면, 그 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>_R\operatorname{fgMod}</math> 역시 아벨 범주이다.
=== 층 ===
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 이 위에 [[아벨 군]] 값을 가진 [[층 (수학)|층]]들의 범주 <math>\operatorname{Sh}_X^{\operatorname{Ab}}</math> 또한 아벨 범주를 이룬다.
반면, 위상 공간 위에 존재하는 [[벡터 다발]]들의 범주는 아벨 범주가 아니다. 이는 [[핵 (수학)|핵]]이 아닌 [[단사 사상]]이 존재하기 때문이다.
=== 함자 범주 ===
아벨 범주 <math>\mathcal A</math>와 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함자 범주 <math>\mathcal A^{\mathcal C}=\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal C,\mathcal A)</math>는 아벨 범주를 이룬다.
아벨 범주 <math>\mathcal A</math>와 <math>\operatorname{Ab}</math>-[[풍성한 범주|풍성한]] [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{Ab}</math>-풍성한 함자들의 범주 <math>\hom_{\operatorname{Ab-Cat}}(\mathcal C,\mathcal A)</math> 역시 아벨 범주를 이룬다.
== 역사 ==
데이비드 앨빈 북스바움({{llang|en|David Alvin Buchsbaum}})은 이 개념을 1955년<ref>{{저널 인용 | last=Buchsbaum | first=David A. | title=Exact categories and duality | jstor=1993003 | mr=0074407 | year=1955 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=80 | issue=1 | pages=1–34 | doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 | 언어=en}}</ref>에 "완전 범주"({{llang|en|exact category}})라는 이름으로 도입하였다. (이 용어는 오늘날 다른 개념을 뜻한다.)
이후 1957년에 [[알렉산더 그로텐디크]]<ref>{{저널 인용 | last=Grothendieck | first=
이후 솔 루브킨({{llang|en|Saul Lubkin}})<ref>{{저널 인용|제목=Imbedding of abelian categories|이름=Saul|성=Lubkin|저널=Transactions of the American Mathematical Society|jstor=1993379|doi= 10.1090/S0002-9947-1960-0169890-3 |언어=en}}</ref>과 피터 존 프레이드({{llang|en|Peter John Freyd}})<ref>{{저널 인용|이름=Peter John|성=Freyd|출판사=Harper and Row|날짜=1964|제목=Abelian categories|언어=en}}</ref>가 모든 아벨 범주는 어떤 가군 범주 속에 [[충실한 함자|충실한]] [[완전 함자]]로 매장될 수 있다는 것을 보였으며, 곧 배리 미첼({{llang|en|Barry Mitchell}})<ref name="Mitchell"/>은 이 함자를 항상 [[충실충만한 함자]]로 잡을 수 있음을 보였다.
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