2016년 1월 26일 (화) 11:19 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 →‎작용 준군 ← 이전 편집		2016년 1월 26일 (화) 12:39 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
2번째 줄: == 정의 == [[모노이드]] <math>M</math>의, [[집합]] <math>X</math> 위의 '''왼쪽 작용'''({{llang\|en\|left action of <math>M</math> on <math>X</math>}})은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 <math>M\times X\to X</math>로 정의할 수 있으며, 또 특정한 [[모노이드 준동형]]으로, 또는 [[함자 (수학)\|함자]]로도 생각할 수 있다. [[모노이드]] <math>M</math>의 작용을 갖춘 집합을 '''<math>M</math>-집합'''({{llang\|en\|<math>M</math>-set}})이라고 한다. 두 <math>M</math>-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 '''등변 함수'''(等變函數, {{llang\|en\|equivariant function}})라고 한다. <math>M</math>-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 [[범주 (수학)\|범주]]가 존재하며, 이를 <math>M\text{-Set}</math> 또는 <math>\operatorname{Set}^M</math>으로 쓴다. 모든 [[군 (수학)\|군]]은 [[모노이드]]를 이루며, '''군의 작용'''({{llang\|en\|group action}})은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, [[반군]]의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군와 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 <math>M</math>의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 [[항등 함수]]이 아니게 작용할 수 있다.) === 함수를 통한 정의 === [[모노이드]] <math>M</math>의, [[집합]] <math>X</math> 위의 '''왼쪽 작용'''({{llang\|en\|left action of <math>M</math> on <math>X</math>}})은 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]] <math>\cdot\colon M\times X\to X</math>이다. * (모노이드 항등원은 [[항등 함수]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>1_M\cdot x=x</math>. 여기서 <math>1_M\in M</math>은 <math>M</math>의 항등원이다. 줄 8 ⟶ 13: * (모노이드 항등원은 [[항등 함수]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\cdot1_M=x</math>. 여기서 <math>1_M\in M</math>은 <math>M</math>의 항등원이다. * (모노이드 연산은 [[함수의 합성]]) 임의의의 <math>m,n\in M</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\cdot(mn)=(x\cdot m)\cdot n</math> 모든 [[군 (수학)\|군]]은 모노이드를 이루며, '''군의 작용'''({{llang\|en\|group action}})은 모노이드로서의 작용과 같다. 군의 왼쪽 작용 <math>\cdot\colon G\times X\to X</math>이 주어졌을 때, * <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g\cdot\colon X\to X</math>는 [[전단사 함수]]이다. * (역원은 [[역함수]]) <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^{-1}\cdot=(g\cdot)^{-1}</math>이다. 여기서 <math>(g\cdot)^{-1}</math>는 전단사 함수의 [[역함수]]이다. [[모노이드]] <math>M</math>의 작용을 갖춘 두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수'''({{lang\|en\|equivariant function}}) <math>f\colon X\to Y</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다. (마찬가지로, [[반군]]의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군와 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 <math>M</math>의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 [[항등 함수]]이 아니게 작용할 수 있다.) :<math>\forall x\in X\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)</math> 여기서 좌변은 <math>Y</math> 위의 작용이고, 우변은 <math>X</math> 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다. :<math>\begin{matrix} X&\xrightarrow{m\cdot}&X\\ {\scriptstyle f}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\ Y&\xrightarrow[m\cdot]{}&Y \end{matrix}</math> === 준동형을 통한 정의 === 추상적으로, 모노이드 <math>M</math>의, 집합 <math>X</math> 위의 왼쪽 작용은 <math>M</math>에서 <math>X</math> 위의 [[자기 함수]]들의 [[모노이드]] <math>\operatorname{End}X</math>로 가는 [[모노이드 준동형]] :<math>\phi\colon M\to\operatorname{End}X</math> 이며, <math>M</math>의 <math>X</math> 위의 오른쪽 작용은 [[반대 모노이드]] <math>M^{\operatorname{op}}</math>에서 <math>\operatorname{End}X</math>로 가는 [[모노이드 준동형]] :<math>M^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}X</math> 줄 24 ⟶ 34: 을 이룬다. [[모노이드]] <math>M</math>의 작용을 갖춘 두 집합 ~~=== 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 동치 ===~~ :<math>\phi_X\colon M\to\operatorname{End}X</math> 임의의 모노이드 <math>M</math>에 대하여, 왼쪽 <math>M</math>-작용은 오른쪽 <math>M^{\operatorname{op}}</math>-작용과 같다. 여기서 <math>M^{\operatorname{op}}</math>은 <math>M</math>의 [[반대 모노이드]]이다. 특히, [[가환 모노이드]]는 스스로의 [[반대 모노이드]]와 표준적으로 [[동형]]이므로, [[가환 모노이드]]의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다. :<math>\phi_Y\colon M\to\operatorname{End}Y</math> 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수'''({{lang\|en\|equivariant function}}) <math>f\colon X\to Y</math>는 다음 그림을 가환하게 만드는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>이다. :<math>\begin{matrix} M&\xrightarrow{\phi_X}&\operatorname{End}X\\ {\scriptstyle\phi_Y}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\circ\\ \operatorname{End}Y&\xrightarrow[\circ f]{}&\hom(X,Y) \end{matrix}</math> === 범주론적 정의 === ~~모든 군 <math>G</math>는 그 [[반대군]]과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형~~ [[범주론]]적으로, <math>M</math>의 작용은 <math>M</math>을 하나의 대상을 갖는 [[작은 범주]]로 간주하였을 때, [[함자 (수학)\|함자]] ~~:<math>{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}}</math>~~ :<math>F\colon M\to\operatorname{Set}</math> 이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 <math>G</math>-작용을 왼쪽 <math>G</math>-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 <math>G</math>-작용 <math>r\colon X\times G\to X</math>에 대하여, 와 동치이다. 이 경우, <math>M</math>이 작용하는 집합은 범주 <math>M</math>의 유일한 대상 <math>\bullet_M</math>의 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)\|상]] <math>F(\bullet_M)\in\operatorname{Set}</math>이며, <math>m\in M</math>의 작용은 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)\|상]] <math>F(m)\colon F(\bullet_M)\to F(\bullet_M)</math>이다. ~~:<math>\ell\colon G\times X\to X</math>~~ ~~:<math>\ell(g,x)=r(x,g^{-1})</math>~~ 두 <math>M</math>-집합 ~~로 정의한다면, <math>\ell</math>은 왼쪽 <math>G</math>-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 <math>G</math>-작용 <math>\ell\colon G\times X\to X</math>가 주어졌을 때~~ :<math>rF\colon XM\~~times G~~to\~~to X~~operatorname{Set}</math> :<math>~~r(x,g)=~~G\~~ell(g^~~colon M\to\operatorname{-1Set}~~,x)~~</math> 사이의 등변 함수 <math>F\Rightarrow G</math>는 두 함자 사이의 [[자연 변환]]과 [[동치]]이다. 구체적으로, 자연 변환 <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math>에 대응하는 등변 함수는 <math>\eta</math>의 성분 는 오른쪽 <math>G</math>-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 [[동치]]이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.) :<math>\eta_{\bullet_M}\colon F(\bullet_M)\to G(\bullet_M)</math> 이다. 따라서, <math>M</math>-집합의 범주 <math>\operatorname{Set}^M</math>은 사실 ([[작은 범주]]로 간주한) <math>M</math>에서 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 함자 범주와 [[범주의 동치\|동치]]이다. === 궤도와 안정자군 === 줄 47 ⟶ 68: :<math>G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\}</math> 즉, 안정자군 <math>G_x</math>는 <math>G</math>의 원소 중 <math>x</math>를 [[고정점]]으로 가지는 모든 원소들의 집합이다. 안정자군 <math>G_x</math>는 G의 [[부분군]]이므로 그 [[왼쪽 잉여류]]를 생각할 수 있다. '''궤도-안정자군 정리'''(軌道-安定子群定理, {{llang\|en\|orbit–stabilizer theorem}})에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다. * <math>G\cdot x</math>의 원소 <math>g\cdot x</math>를 왼쪽 잉여류 <math>gG_x</math>로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>g\cdot x=h\cdot x</math>라면 <math>gG_x=hG_x</math>이다. * 이 함수는 [[전단사 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>gG_x=hG_x</math>라면 <math>g\cdot x=h\cdot x</math>이다. ~~특히, 만약 <math>G</math>가 [[유한군]]이면, [[라그랑주의 정리 (군론)\|라그랑주의 정리]]에 의해 다음이 성립한다.~~ ~~:<math>\|Gx\| = [G:G_x] = \|G\| / \|G_x\|</math>~~ === 작용 준군 === 줄 61 ⟶ 76: 이를 '''작용 범주'''(作用範疇, {{llang\|en\|action category}}, {{lang\|en\|translation category}})라고 한다.<ref> {{서적 인용\|제목=The K-book: an introduction to algebraic K-theory\|이름=Charles A.\|성=Weibel\|isbn=978-0-8218-9132-2\|출판사=American Mathematical Society\|날짜=2013-05-18\|총서=Graduate Studies in Mathematics\|권=145\|url=https://math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html\|언어=en\|zbl=1273.19001 }}</ref>{{rp\|315, 3.3.1}} 만약 <math>M</math>이 [[군 (수학)\|군]]이라면, <math>X</math> 위의 작용 범주는 [[준군]]을 이룬다. 이를 '''작용 준군'''(作用準群, {{llang\|en\|action groupoid}}, {{lang\|en\|translation groupoid}})이라고 한다. 작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다. ~~== 분류 ==~~ == 성질 == 군의 왼쪽 작용 <math>\cdot\colon G\times X\to X</math>이 주어졌을 때, * <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g\cdot\colon X\to X</math>는 [[전단사 함수]]이다. * (역원은 [[역함수]]) <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^{-1}\cdot=(g\cdot)^{-1}</math>이다. 여기서 <math>(g\cdot)^{-1}</math>는 전단사 함수의 [[역함수]]이다. === 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계 === 임의의 모노이드 <math>M</math>에 대하여, 왼쪽 <math>M</math>-작용은 오른쪽 <math>M^{\operatorname{op}}</math>-작용과 같다. 여기서 <math>M^{\operatorname{op}}</math>은 <math>M</math>의 [[반대 모노이드]]이다. 특히, [[가환 모노이드]]는 스스로의 [[반대 모노이드]]와 표준적으로 [[동형]]이므로, [[가환 모노이드]]의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다. 모든 군 <math>G</math>는 그 [[반대군]]과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형 :<math>{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}}</math> 이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 <math>G</math>-작용을 왼쪽 <math>G</math>-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 <math>G</math>-작용 <math>r\colon X\times G\to X</math>에 대하여, :<math>\ell\colon G\times X\to X</math> :<math>\ell(g,x)=r(x,g^{-1})</math> 로 정의한다면, <math>\ell</math>은 왼쪽 <math>G</math>-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 <math>G</math>-작용 <math>\ell\colon G\times X\to X</math>가 주어졌을 때 :<math>r\colon X\times G\to X</math> :<math>r(x,g)=\ell(g^{-1},x)</math> 는 오른쪽 <math>G</math>-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 [[동치]]이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.) === 궤도-안정자군 정리 === 안정자군 <math>G_x</math>는 G의 [[부분군]]이므로 그 [[왼쪽 잉여류]]를 생각할 수 있다. '''궤도-안정자군 정리'''(軌道-安定子群定理, {{llang\|en\|orbit–stabilizer theorem}})에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다. * <math>G\cdot x</math>의 원소 <math>g\cdot x</math>를 왼쪽 잉여류 <math>gG_x</math>로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>g\cdot x=h\cdot x</math>라면 <math>gG_x=hG_x</math>이다. * 이 함수는 [[전단사 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>gG_x=hG_x</math>라면 <math>g\cdot x=h\cdot x</math>이다. 특히, 만약 <math>G</math>가 [[유한군]]이면, [[라그랑주의 정리 (군론)\|라그랑주의 정리]]에 의해 다음이 성립한다. :<math>\|Gx\| = [G:G_x] = \|G\| / \|G_x\|</math> === 보편대수학적 성질 === [[모노이드]] <math>M</math>에 대하여, <math>M</math>-집합은 <math>M</math>의 각 원소 <math>m\in M</math>에 대하여 1항 연산 <math>m\cdot</math>을 가지며, 대수적 관계 :<math>1\cdot x=x\qquad\forall x\in X</math> :<math>m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad\forall x\in X</math> 를 만족시키는 [[대수 구조]]이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, <math>M</math>-집합들은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 집합 <math>X</math> 위의 [[자유 대수\|자유]] <math>M</math>-집합은 [[곱집합]] <math>M\times X</math>이며, 그 위의 작용은 :<math>m\cdot(n,x)=(mn,x)</math> 이다. === 범주론적 성질 === [[모노이드]] <math>M</math>에 대하여, <math>M</math>-집합의 범주 <math>\operatorname{Set}^M</math>은 ([[작은 범주]]에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다.<ref name="EM"/> 특히, 이는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며 [[데카르트 닫힌 범주]]이다. <math>\operatorname{Set}^M</math>의 [[시작 대상]]은 (유일한 작용을 갖춘) [[공집합]]이다. <math>\operatorname{Set}^M</math>의 [[끝 대상]]은 (유일한 작용을 갖춘) [[한원소 집합]]이다. <math>\operatorname{Set}^M</math>의 <math>\operatorname{Set}^M</math>의 [[부분 대상 분류자]] <math>R_M</math>은 <math>M</math> 위의 오른쪽 [[모노이드 아이디얼]]들의 집합 :<math>R_M=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}</math> 이다.<ref name="EM"/> 이 위의 <math>M</math>의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다. :<math>M\times R_M\to R_M</math> :<math>(m,I)\mapsto mI</math> 망각 함자 :<math>U\colon\operatorname{Set}^M\to\operatorname{Set}</math> 가 존재한다. 이는 [[왼쪽 수반 함자]] <math>F</math>와 [[오른쪽 수반 함자]] <math>G</math>를 갖는다.<ref name="EM">{{저널 인용\|url=http://176.58.104.245/NOTES/categories/M-Set.pdf\|제목=The category of ''M''-sets\|저널=Italian Journal of Pure and Applied Mathematics\|issn=1126-8042\|성=Ebrahimi \|이름=M. Mehdi\|성2=Mahmoudi\|이름2=M. \|날짜=2001\|권=9\|쪽=123-132\|언어=en}}</ref> :<math>F\dashv U\dashv G</math> 왼쪽 수반 함자 <math>F</math>는 [[자유 대수]] 함자이다. 즉, 집합 <math>X</math>를 <math>M\times X</math>로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 <math>G</math>는 집합 <math>X</math>를 함수들의 집합 <math>X^M</math>으로 대응시킨다. <math>M</math>의 <math>X^M</math> 위의 작용은 다음과 같다. :<math>(m\cdot f)(n)=f(mn)</math> == 종류 == [[군 (수학)\|군]] ''G'' 가 집합 ''X'' 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다. 줄 79 ⟶ 148: == 참고 문헌 == {{각주}} * {{저널 인용\|url=http://176.58.104.245/NOTES/categories/M-Set.pdf\|제목=The category of ''M''-sets\|저널=Italian Journal of Pure and Applied Mathematics\|issn=1126-8042\|성=Ebrahimi \|이름=M. Mehdi\|성2=Mahmoudi\|이름2=M. \|날짜=2001\|권=9\|쪽=123-132\|언어=en}} == 바깥 고리 == 줄 92 ⟶ 161: * {{매스월드\|id=GroupOrbit\|title=Group orbit}} * {{매스월드\|id=Stabilizer\|title=Stabilizer}} * {{매스월드\|id=G-Set\|title=G-set}} * {{매스월드\|id=GroupSet\|title=Group set}} * {{nlab\|id=G-set}} * {{nlab\|id=action\|title=Action}} 줄 99 ⟶ 170: [[분류:군론]] [[분류:반군론]] [[분류:표현론]]

군의 작용: 두 판 사이의 차이