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군 코호몰로지는 불변량 함자의 [[왼쪽 유도 함자]]로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 [[오른쪽 유도 함자]]로 정의할 수 있다.
 
구체적으로, [[유한군군 (수학)|군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathbb Z[G]</math>의 (왼쪽) [[가군]]들의 범주 <math>\mathbb Z[G]\text{-Mod}</math>는 [[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]]이다.
 
다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의하자.
군 코호몰로지는 [[군환]]에 대한 [[Ext 함자]]의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 [[군환]]에 대한 [[Tor 함자]]의 특별한 경우이다.
 
구체적으로, [[유한군군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[가군]] <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>G</math>의 <math>M</math> 계수의 '''군 코호몰로지'''는 다음과 같은 [[Ext 함자]]이다.
:<math>H^n(G;M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)</math>
마찬가지로, <math>G</math>의 <math>M</math> 계수의 '''군 호몰로지'''는 다음과 같은 [[Tor 함자]]이다.
 
=== 구체적 정의 ===
<math>G</math>가 [[유한군군 (수학)|군]]이고 <math>M</math>이 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[군의 가군|가군]]이라고 하자. 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>차 '''공사슬'''({{llang|en|cochain}})을 <math>G^n\to M</math> 함수로 정의하고, <math>n</math>차 공사슬의 집합을 <math>C^n(G,M)</math>으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다. (여기서 <math>G^n</math>은 군의 [[직접곱]] <math>G\times G\times\dotsb\times G</math>이다.)
 
'''공경계 준동형'''({{llang|en|coboundary homomorphism}}) <math>d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)</math>을 다음과 같이 정의하자.
만약 <math>G</math>의 <math>M</math> 위의 [[군의 작용|작용]]이 자명하다면, 군 코호몰로지는 ([[이산 위상]]을 부여한 [[위상군]]으로서의) [[분류 공간]] <math>BG</math>의 [[특이 코호몰로지]]와 동형이다.
:<math>\operatorname H^k(G;M)=\operatorname H_\text{sing}^k(BG;M)</math>
 
== 예 ==
=== 자유군 ===
<math>k</math>개의 원소로 생성되는 [[자유군]] <math>F_k</math>을 생각하자. 자명한 작용을 가진 [[아벨 군]] <math>M</math>에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^n(G;M)=\operatorname H_n(G;M)=\begin{cases}
M&n=0\\
M^{\oplus k}&n=1\\
0&n>1
\end{cases}</math>
 
=== 순환군 ===
<math>k</math>차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(k)</math>을 생각하자. 자명한 작용을 가진 [[아벨 군]] <math>M</math>에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(G;M)=\begin{cases}
M&n=0\\
(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\
M/nM&2\mid n>0\\
\end{cases}</math>
여기서 <math>\ker n=\{m\in M\colon nm=0\}</math>은 <math>M</math>의 <math>n</math>-[[꼬임 부분군]]이다.
 
이는 [[순환군]]의 [[분류 공간]]인 <math>\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(k)</math>의 [[특이 호몰로지]]와 같다. 특히, <math>k=2</math>일 경우 이는 무한 차원 [[실수 사영 공간]] <math>\operatorname{RP}^\infty</math>의 [[특이 호몰로지]]이다.
 
=== 자유 아벨 군 ===
<math>k</math>차 [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^{\oplus k}</math>을 생각하자. 자명한 작용을 가진 [[아벨 군]] <math>M</math>에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(G;M)=M^{\oplus\binom kn}</math>
여기서 <math>\textstyle\binom kn</math>은 [[이항 계수]]이다. 이는 [[자유 아벨 군]]의 [[분류 공간]]인 [[원환면]] <math>\mathbb T^k</math>의 [[특이 호몰로지]]와 같다.
 
== 참고 문헌 ==
* {{eom|title=Cohomology of groups}}
* {{nlab|id=group cohomology|title=Group cohomology}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Cohomology_group|제목=Cohomology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/First_cohomology_group|제목=First cohomology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Second_cohomology_group|제목=Second cohomology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Second_cohomology_group_for_trivial_group_action|제목=Second cohomology group for trivial group action|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_finite_cyclic_groups|제목=Group cohomology of finite cyclic groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_Klein_four-group|제목=Group cohomology of Klein four-group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_free_groups|제목=Group cohomology of free groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.arizona.edu/~sharifi/groupcoh.pdf|제목=An introduction to group cohomology|이름=Romyar|성=Sharifi}}
* {{서적 인용|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf|제목=Class field theory|이름=J. S.|성=Milne|날짜=2013-03-23|판=버전 4.02}}