아벨 범주: 두 판 사이의 차이
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* <math>I</math>는 [[완전 함자]]이다.
따라서, 임의의 (작은) 아벨 범주는 가군들의 범주로 생각할 수 있으며, 특히 원소나 [[부분 집합]]과 같은 [[집합론]]적·[[가군론]]적 개념을 증명 도중 사용할 수 있다.
== 종류 ==
'''AB5 범주'''는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.
* [[쌍대 완비 범주]]이다.
* [[완전열]]의 [[여과 쌍대 극한]]({{llang|en|filtered colimit}})이 존재하며, [[완전열]]을 이룬다. 즉, [[유향 집합]] <math>I</math>의 첨자를 가진 [[짧은 완전열]]들 <math>\{0\to A_i\to B_i\to C_i\to0\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 그 [[쌍대 극한]] <math>\textstyle 0\to\varinjlim_{i\in I}A_i\to \varinjlim_{i\in I}B_i\to \varinjlim_{i\in I}C_i\to0</math>이 존재하며 역시 [[짧은 완전열]]을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 완전열을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 완전열이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.)
'''그로텐디크 아벨 범주'''({{llang|en|Grothendieck Abelian category}}) <math>\mathcal C</math>는 생성원을 갖는 AB5 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상 <math>G\in\mathcal C</math>가 존재한다.
* <math>\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>는 [[충실한 함자]]이다.
그로텐디크 아벨 범주는 항상 [[완비 범주]]임을 보일 수 있다.
== 예 ==
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=== 층 ===
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 이 위에 [[아벨 군]] 값을 가진 [[층 (수학)|층]]들의 범주 <math>\operatorname{Sh}_X^{\operatorname{Ab}}</math> 또한 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 [[위치 (수학)|위치]] 위의, [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]]의 범주는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.
반면, 위상 공간 위에 존재하는 [[벡터 다발]]들의 범주는 아벨 범주가 아니다. 이는 [[핵 (수학)|핵]]이 아닌 [[단사 사상]]이 존재하기 때문이다.
=== 가군층 ===
<math>(X,\mathcal O_X)</math>가 [[환 달린 공간]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]들의 범주 <math>\mathcal O_X\text{-Mod}</math>는
만약 <math>X</math>가 [[스킴 (수학)|스킴]]이라면, [[준연접층]]의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(X)</math> 역시 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.
=== 함자 범주 ===
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