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[[군론]]에서, '''직교군'''(直交群, {{llang|en|orthogonal group}})은 주어진 [[체 (수학)|체]]에 대한 [[직교행렬직교 행렬]]의 [[리 군]]이다.
 
== 정의 ==
만약 <math>V</math>가 <math>n</math>차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 <math>\operatorname O(n;K)</math>로 쓴다.
 
[[실베스터 관성법칙관성 법칙]]에 의하여, [[실수체]] <math>K=\mathbb R</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]은 [[계량 부호수]] <math>(p,q)</math>에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 <math>\operatorname O(p,q;\mathbb R)</math>와 같이 쓴다.
 
=== 특수직교군 ===
<math>\mathfrak{so}(n;\mathbb R)</math>는 <math>n\times n</math> 정사각 실수 [[반대칭 행렬]]들로 구성된 리 대수이며, <math>\mathfrak{so}(n;\mathbb C)</math>는 정사각 복소수 [[반대칭 행렬]]들로 구성된 리 대수이다.
:<math>\mathfrak{so}(n;K)=\{M\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon M^\top=-M\}</math>
 
=== 스피너 노름 ===
체 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q</math>의 직교군 <math>\operatorname O(V,Q)</math>에 대하여, '''스피너 노름'''({{llang|en|spinor norm}})은 다음과 같은 [[군 준동형]]이다.
:<math>N\colon\operatorname O(V,Q)\to K^\times/(K^\times)^2</math>
:<math>N(R_v)=1\qquad(Q(v)\ne0)</math>
여기서 <math>R_v</math>는 <math>v\in V</math>에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.
:<math>R_v\colon u\mapsto u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}</math>
직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
 
== 성질 ==
* {{수학노트|title=직교군과 직교리대수}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf|제목=Sporadic isogenies|이름=Paul|성=Garrett|날짜=2015-05-07|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_group_for_a_symmetric_bilinear_form|제목=Orthogonal group for a symmetric bilinear form|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_group_for_the_standard_dot_product|제목=Orthogonal group for the standard dot product|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Special_orthogonal_group_for_the_standard_dot_product|제목=Special orthogonal group for the standard dot product|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Split_orthogonal_group|제목=Split orthogonal group|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_similitude_group_for_a_symmetric_bilinear_form|제목=Orthogonal similitude group for a symmetric bilinear form|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_similitude_group_for_the_standard_dot_product|제목=Orthogonal similitude group for the standard dot product|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Special_orthogonal_similitude_group|제목=Special orthogonal similitude group|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Spinor_norm|제목=Spinor norm|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
 
== 같이 보기 ==