2013년 12월 29일 (일) 11:27 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 새 문서: thumb\|right\|유리수체에 <math>\exp(2\pi i/5)</math>를 추가한 확대는 아벨 확대의 예이다. 대수적 수론에서, '''아벨 확대'''(Abel...		2016년 4월 7일 (목) 16:19 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[File:One5Root.svg\|thumb\|right\|유리수체에 <math>\exp(2\pi i/5)</math>를 추가한 ~~확대는~~[[원분체]]는 아벨그 ~~확대의~~[[갈루아 군]]이 5차 [[순환군]]이므로 순환 확대이자 아벨 ~~예이다~~확대이다.]] [[~~대수적 수론~~체론]]에서, '''아벨 확대'''(Abel擴大, {{llang\|en\|Abelian extension}})는 ~~[[유체론]]에서 다루는 [[체의 확대]]이다. 체를~~그 [[갈루아 군]]이 [[아벨 군]]이 되게되는 ~~확대하는~~[[갈루아 ~~것이다~~확대]]이다. == 정의 == '''아벨 확대'''는 [[갈루아 군]]이 [[아벨 군]]인 [[갈루아 확대]]이다. '''순환 확대'''({{llang\|en\|cyclic extension}})는 [[갈루아 군]]이 [[순환군]]인 [[갈루아 확대]]이다. == 분류 == 특정 경우, 주어진 체 위의 모든 순환 확대 및 아벨 확대를 분류할 수 있다. * '''쿠머 이론'''(Kummer理論, {{llang\|en\|Kummer theory}})은 [[1의 거듭제곱근]]이 충분히 존재하는 체 위의 [[아벨 확대]]들을 분류한다. 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다. * 쿠머 이론은 확대의 차수가 [[체의 표수]]와 겹치는 경우 사용될 수 없다. 이 경우 '''아르틴-슈라이어 이론'''({{llang\|en\|Artin–Schreier theory}})은 차수가 표수와 같은 경우의 순환 확대를 분류하며, 이를 일반화한 '''아르틴-슈라이어-비트 이론'''({{llang\|en\|Artin–Schreier–Wit theory}})은 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 이를 통해 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 [[유한 확대\|유한]] 아벨 확대를 분류할 수 있다. 이에 따르면, 이러한 경우 모든 아벨 확대는 [[비트 벡터]]를 사용하여 구성되는 특정 다항식의 근들을 첨가하여 얻을 수 있다. * 만약 [[1의 거듭제곱근]]이 충분히 존재하지 않지만, 체가 [[대역체]] 또는 [[국소체]]인 경우, [[유체론]]을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다. === 쿠머 이론 === 1의 원시 <math>n</math>제곱근을 갖는 체 <math>K</math> (<math>\operatorname{char}K\nmid n</math>) 위의 확대 <math>L/K</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Sekiguchi"/>{{rp\|Theorem 1.1}} * <math>n</math>차 [[순환 확대]] <math>L/K</math>이다. * <math>L/K\cong K(\sqrt[n]a)/K</math>가 되는 <math>a\in K</math>가 존재한다. * 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in K^\times</math>가 존재한다. :<math>\begin{matrix} L&\leftarrow&K[x,x^{-1}]\\ \uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\ K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&X \end{matrix}</math> 다음 가환 그림이 [[올곱]]이 되게 하는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>이 존재한다. :<math>\begin{matrix} \operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname m}\\ \downarrow&&\downarrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\ \operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname m} \end{matrix}</math> 여기서 <math>\mathbb G_{\operatorname m}(K)=\operatorname{Spec}K[x,x^{-1}]=\operatorname{Spec}K[x,y]/(xy-1)</math>은 <math>K</math> 위의 곱셈 [[군 스킴]]이다. 이에 따라, <math>K</math> 위의 <math>n</math>차 순환 확대는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>에 의하여 주어진다. 보다 일반적으로, <math>n</math>이 가역원인 체 <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 <math>K</math>-[[군 스킴]]의 [[짧은 완전열]]이 존재하며, 이를 '''쿠머 완전열'''({{llang\|en\|Kummer exact sequence}})이라고 한다. :<math>1\to\mu_n(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)\xrightarrow{(-)^n}\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to1</math> 여기서 * <math>\mu_n(K)=\operatorname{Spec}K[x]/(x^n-1)</math>는 <math>K</math> 속의 [[1의 거듭제곱근\|1의 <math>n</math>제곱근]]들로 구성된 [[군 스킴]]이다. * <math>\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]에 해당하는 [[군 스킴]]이다. * <math>(-)^n\colon\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>는 <math>n</math>제곱에 해당하는 [[군 스킴]] 사상이다. === 아르틴-슈라이어 이론 === 양의 표수 <math>p>0</math>의 체 <math>K</math> 위의 확대 <math>L/K</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. * <math>p</math>차 [[순환 확대]] <math>L/K</math>이다. * <math>L</math>이 <math>x^p-x-a\in K[x]</math>의 [[분해체]]가 되는 <math>a\in K</math>가 존재한다. * 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in K^\times</math>가 존재한다. :<math>\begin{matrix} L&\leftarrow&K[x]\\ \uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^p-x\\ K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&K[x] \end{matrix}</math> 다음 가환 그림이 [[올곱]]이 되게 하는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>이 존재한다. :<math>\begin{matrix} \operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname a}\\ \downarrow&&\downarrow&\scriptstyle\operatorname{Frob}-\operatorname{id}\\ \operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname a} \end{matrix}</math> 여기서 <math>\mathbb G_{\operatorname a}(K)=\operatorname{Spec}K[x]</math>은 <math>K</math> 위의 덧셈 [[군 스킴]]이다. * <math>\operatorname{Frob}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)</math>는 [[프로베니우스 사상]]과 [[항등 사상]]의 차이다. 이는 [[다항식환]]의 [[자기 사상]] <math>\operatorname{eval}_{x\mapsto x^p-x}\colon K[x]\to K[x]</math>으로부터 정의된다. 표수가 <math>p</math>인 체 <math>K</math> 위에서 다음과 같은 [[군 스킴]]의 [[짧은 완전열]]이 존재하며, 이를 '''아르틴-슈라이어 완전열'''({{llang\|en\|Artin–Schreier exact sequence}})이라고 한다. :<math>1\to(\mathbb Z/p)_{/K}\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)\xrightarrow{\operatorname{Frob}-\operatorname{id}}\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to1</math> 여기서 * <math>(\mathbb Z/p)_{/K}=\operatorname{Spec}K[x]/(x^p-x)</math>는 [[프로베니우스 사상]]의 [[고정점]]들로 구성된 [[군 스킴]]이다. === 아르틴-슈라이어-비트 이론 === '''아르틴-슈라이어-비트 이론'''에 따르면, 표수 <math>p>0</math>의 체 <math>K</math>의 [[체의 확대\|확대]] <math>L/K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hazewinkel">{{서적 인용\|mr=2553661 \|last=Hazewinkel\|first= Michiel \|chapter=Witt vectors. Part 1\|title= Handbook of algebra. Volume 6\|pages=319–472\|publisher= Elsevier\|날짜= 2009\|arxiv=0804.3888\|isbn=978-0-444-53257-2\|bibcode=2008arXiv0804.3888H\|doi=10.1016/S1570-7954(08)00207-6\|editor1-first=Michiel\|editor1-last=Hazewinkel\|언어=en}}</ref>{{rp\|§7}}<ref name="Sekiguchi">{{서적 인용\|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1200-1.pdf\|장=On the unification of Kummer and Artin–Schreier–Witt theories\|저자=関口力\|총서=数理解析研究所講究録\|권=1200\|editor=伊原康隆\|쪽=1–12\|제목=代数的整数論とその周辺\|날짜=2001-04\|출판사=[[교토 대학]]\|언어=en}}</ref>{{rp\|Theorem 1.2}} * 확대 <math>L/K</math>가 <math>p^n</math>차 [[순환 확대]]이다. * <math>L/K\cong K(f^{-1}(\vec a))</math>인 [[비트 벡터]] <math>\vec a\in\mathbb W_{n,p}(K)\setminus f(\mathbb W_{n,p}(K)</math>가 존재한다. 여기서 <math>f\colon\mathbb W_{n,p}\to\mathbb W_{n,p}</math>는 <math>f\colon(a_1,a_p,a_{p^2}\dots)\mapsto(a_1^p,a_p,a_{p^2}^p,\dots,a_{p^{n-1}}^p)- (a_1,a_p,a_{p^2},\dots,a_{p^{n-1}})</math>이며, 여기서 <math>-</math>는 [[비트 벡터]]의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). <math>K(f^{-1}(\vec a))</math>는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 <math>n</math>개의 다항식 <math>(f(\vec x)-\vec a)_{p^i}\in K[x]\qquad(i\in\{0,1,\dots,n-1\}</math>들의 [[분해체]]를 뜻한다. * 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[\vec x]}K[\vec x]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in\mathbb W_{n,p}(K)</math>가 존재한다. (여기서 <math>\vec x=(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})</math>는 [[비트 벡터]]의 성분으로 간주한 형식적 변수들이며, <math>\vec x^{(p)}-\vec x</math>에서 <math>-</math>는 [[비트 벡터]]로서의 뺄셈이며, <math>\vec x^{(p)}=(x_0^p,x_1^p,\dots,x_{n-1}^p)</math>는 [[프로베니우스 사상]]이다.) :<math>\begin{matrix} L&\leftarrow&K[\vec x]\\ \uparrow&&\uparrow&\scriptstyle\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x\\ K&\underset{\vec x\mapsto\vec a}\leftarrow&K[\vec x] \end{matrix}</math> 다음 가환 그림이 [[올곱]]이 되게 하는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>이 존재한다. :<math>\begin{matrix} \operatorname{Spec}L&\to&\mathbb W_{n,p}(K)\\ \downarrow&&\downarrow&\scriptstyle(-)^{(p)}-\operatorname{id}\\ \operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb W_{n,p}(K) \end{matrix}</math> 여기서 <math>\mathbb W_{n,p}(K)</math>는 길이 <math>n+1</math>의 <math>p</math>진 [[비트 벡터]]의 군이다. 스킴으로서 이는 <math>n</math>차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A_K^n=\operatorname{Spec}K[x_0,\dots,x_{n-1}]=\operatorname{Spec}[x_0,\dots,x_{n-1}]</math>이며, 그 위의 [[군 스킴]]의 구조는 <math>\vec x</math> 위의 [[비트 벡터]] 연산으로부터 유도된다. 특히, <math>n=0</math>일 경우 <math>\mathbb W_{0,p}(K)\cong\mathbb G_{\operatorname a}(K)</math>가 된다. * <math>(-)^{(p)}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)</math>는 [[프로베니우스 사상]]과 [[항등 사상]]의 차이다. 이는 [[다항식환]] <math>K[\vec x]</math>의 [[자기 사상]] <math>\operatorname{eval}_{\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x}\colon K[x]\to K[x]</math>으로부터 정의된다. 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재하며, 이를 '''아르틴-슈라이어-비트 완전열'''({{llang\|en\|Artin–Schreier–Witt exact sequence}})이라고 한다. 이는 아르틴-슈라이어 완전열의 일반화이다. :<math>1\to(\mathbb Z/p^n)_{/K}\to\mathbb W_{n,p}(K)\to\xrightarrow{(-)^p-\operatorname{id}}\mathbb W_{n,p}(K)\to1</math> 여기서 * <math>(\mathbb Z/p^n)_{/K}=\operatorname{Spec}K[\vec x]/(\vec x^{(p)}-\vec x)</math>는 [[프로베니우스 사상]] <math>(-)^{(p)}\colon\mathbb W_{n,p}(K)\to\mathbb W_{n,p}(K)</math>의 [[고정점]]들로 구성된 [[군 스킴]]이다. === 유체론 === {{본문\|유체론}} 쿠머 이론은 [[1의 거듭제곱근]]을 충분히 가지는 [[체 (수학)\|체]]에 대해서만 적용된다. 만약 [[1의 거듭제곱근]]이 충분히 존재하지 않지만, 체가 [[대역체]] 또는 [[국소체]]인 경우, 그 아벨 확대들은 [[유체론]]을 통해 분류된다. == 예 == 대표적인 예로, [[원분체]]는 [[유리수체]]의 순환 확대이자 아벨 확대이다. 일반적으로, [[소수 (수론)\|소수]] 차수의 [[갈루아 확대]]는 (소수 크기의 군은 [[순환군]] 밖에 없으므로) 순환 확대이다. == 역사 == 쿠머 이론은 [[에른스트 쿠머]]가 1840년대에 [[페르마의 마지막 정리]]를 연구하기 위하여 도입하였다. 이후 [[에밀 아르틴]]과 [[오토 슈라이어]]가 1927년에 아르틴-슈라이어 이론을 도입하였다.<ref>{{저널 인용 \| last1=Artin \| first1=Emil \| author1-link=에밀 아르틴 \| last2=Schreier \| first2=Otto \| title=Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper \| year=1927 \| 저널=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg \| issn=0025-5858 \| 권=5 \| 호=1 \| pages=225–231 \| doi=10.1007/BF02952522 \| 언어=de}}</ref> [[에른스트 비트]]가 1936년에 [[비트 벡터]]의 개념을 도입하여 아르틴-슈라이어 이론을 아르틴-슈라이어-비트 이론으로 일반화하였다.<ref>{{저널 인용 \| url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=504725 \| last1=Witt \| first1=Ernst \| author1-link = 에른스트 비트 \| title=Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p<sup>n</sup>. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p<sup>n</sup> \| 날짜=1936 \| journal=Journal für Reine und Angewandte Mathematik \| volume=176 \| pages=126–140 \| doi=10.1515/crll.1937.176.126\|issn=0075-4102\|언어=de}}</ref> == 참고 문헌 == {{각주}} * {{저널 인용\|arxiv=1104.2222\|제목=Sekiguchi-Suwa theory revisited\|이름1=Ariane\|성1=Mézard\|이름2=Matthieu\|성2=Romagny\|이름3=Dajano\|성3=Tossici\|bibcode=2011arXiv1104.2222M\|언어=en}} == 바깥 고리 == * {{eom\|title=Cyclotomic extension}} * {{eom\|title=Kummer extension}} * {{eom\|title=Artin-Schreier theorem}} * {{nlab\|id=Kummer theory}} * {{nlab\|id= Kummer sequence}} * {{nlab\|id=Artin-Schreier sequence}} * {{nlab\|id=Kummer-Artin-Schreier-Witt exact sequence}} [[분류:체론]] [[분류:대수적 수론]] [[분류:유체론]]

아벨 확대: 두 판 사이의 차이