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=== 쿠머 이론 ===

'''쿠머 이론'''에 따르면, [[1의 거듭제곱근|1의 원시 <math>n</math>제곱근]](즉, <math>\{\zeta_n^0,\zeta_n,\dots,\zeta_n^{n-1}\}</math>이 모두 서로 다른, <math>\zeta_n^n=1</math>인 원소 <math>\zeta_n\in K</math>)을 갖는 체 <math>K</math> (<math>\operatorname{char}K\nmid n</math>) 위의 확대 <math>L/K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Sekiguchi"/>{{rp|Theorem 1.1}}

* <math>L/K\cong K(\sqrt[n]a)/K</math>가 되는 <math>a\in K</math>가 존재한다.

* 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in K^\times</math>가 존재한다.

 

'''아르틴-슈라이어 이론'''에 따르면, 양의 표수 <math>p>0</math>의 체 <math>K</math> 위의 확대 <math>L/K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.

* <math>L</math>이 <math>x^p-x-a\in K[x]</math>의 [[분해체]]가 되는 <math>a\in K</math>가 존재한다.

* 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in K^\times</math>가 존재한다.

|last=Hazewinkel|first= Michiel

|chapter=Witt vectors. Part 1|title= Handbook of algebra. Volume 6|pages=319–472|publisher= Elsevier|날짜= 2009|arxiv=0804.3888|isbn=978-0-444-53257-2|bibcode=2008arXiv0804.3888H|doi=10.1016/S1570-7954(08)00207-6|editor1-first=Michiel|editor1-last=Hazewinkel|언어=en}}</ref>{{rp|§7}}<ref name="Sekiguchi">{{서적 인용|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1200-1.pdf|장=On the unification of Kummer and Artin–Schreier–Witt theories|저자=関口 力|총서=数理解析研究所講究録|권=1200|editor=伊原 康隆|쪽=1–12|제목=代数的整数論とその周辺|날짜=2001-04|출판사=[[교토 대학]]|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1.2}}

* <math>L/K\cong K(f^{-1}(\vec a))</math>인 [[비트 벡터]] <math>\vec a\in\mathbb W_{n,p}(K)\setminus f(\mathbb W_{n,p}(K)</math>가 존재한다. 여기서 <math>f\colon\mathbb W_{n,p}\to\mathbb W_{n,p}</math>는 <math>f\colon(a_1,a_p,a_{p^2}\dots)\mapsto(a_1^p,a_p,a_{p^2}^p,\dots,a_{p^{n-1}}^p)-

(a_1,a_p,a_{p^2},\dots,a_{p^{n-1}})</math>이며, 여기서 <math>-</math>는 [[비트 벡터]]의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). <math>K(f^{-1}(\vec a))</math>는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 <math>n</math>개의 다항식 <math>(f(\vec x)-\vec a)_{p^i}\in K[x]\qquad(i\in\{0,1,\dots,n-1\}</math>들의 [[분해체]]를 뜻한다.