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'''복소해석함수정칙함수'''(holomorphic function)는 [[복소해석학]]의 중심 대상으로, [[복소평면]]의 [[열린 부분집합]]에서 복소평면으로 가는, [[정의역]]의 모든 점에서 복소 미분가능한 [[함수]]를 말한다. 아래에서 정의할 '복소 미분가능성'은 실함수의 [[미분가능성]]보다 훨씬 강한 조건으로, 복소 미분가능한 함수는 [[무한번 미분 가능]]하며, 자신의 [[테일러 급수]]와 일치한다. ([[해석함수]] 문서의 내용과 비교할 것.) 어떤 함수가 "점 a에서 복소해석적이다"라는 말은 이 함수가 점 a에서만 미분가능한 것이 아니라 그 점의 적당한 열린 근방에서 미분가능하다는 뜻이다.
==정의==
여기에서 극한은 복소평면 상에서 z<sub>0</sub>으로 접근하는 모든 [[수열]]에 대해 계산되는 것으로, 실수의 경우에 비해 특정한 점에 접근할 수 있는 방법이 훨씬 더 많기 때문에 복소 미분가능성은 실 미분가능성에 비해 훨씬 강한 조건이 된다. 복소 미분은 실함수의 미분과 마찬가지로 [[선형변환|선형적]]이며 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙 등을 똑같이 만족시킨다.
f가 열린 집합 U의 모든 점에서 복소 미분가능하면 이를 'U 상에서 복소해석적이다정칙이다'라고 한다. 또한 f가 z<sub>0</sub>를 포함하는 적절한 근방에서 복소해석적이면정칙이면 이를 'z<sub>0</sub>에서 복소해석적이다정칙이다'라고 하며, 보다 일반적으로 A가 임의의 '''C'''의 부분집합일 때 f가 A를 포함하는 적절한 근방에서 복소해석적이면정칙이면 이를 'A에서 복소해석적이다정칙이다'라고 한다.
==전해석함수==
복소평면 전체에서 복소해석적인정칙인 함수를 '''전해석함수'''(entire function)라고 한다. [[다항함수]]와 [[지수함수]]는 전해석함수이며정칙함수이며, 전해석함수들의정칙함수들의 합이나 곱, 합성 등도 마찬가지이지만, [[자연 로그]]와 [[제곱근]] 함수는 전해석함수가정칙함수가 아니다.
전해석함수는정칙함수는 [[무한대 점]]에서 [[특이점 (수학)|특이점]]을 가질 수 있으며, 이는 심지어 [[본질적 특이점]]일 수도 있다. 후자의 경우 이 함수를 '''초월적 전해석함수'''라 한다. [[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]의 간단한 따름정리로 [[리만 구]](복소평면에 무한대 점을 추가한 것) 전체에서 복소해석적인 함수는 상수함수 뿐임을 알 수 있다.
==함께 보기==
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