제1 가산 공간: 두 판 사이의 차이

[[일반위상수학]]에서, '''제1 가산 공간'''(第一可算空間, {{llang|en|first-countable space}})은 모든 점이 가산 [[국소 기저를기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 제1 가산 공간에서는 일반적으로 [[그물 (수학)|그물]] 또는 [[필터 (수학)|필터]]를 사용하여 정의되는 조건들이 [[점렬]]을 사용한 조건들과 [[동치]]가 된다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''[[국소 기저]]'''(局所基底, {{llang|en|local base}}) <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>는 다음 두 성질들을 만족시키는 [[집합족]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>에서의 '''국소 지표'''(局所指標, {{llang|en|local character}}) <math>\chi(x,X)</math>는 <math>x</math>에서의 [[국소 기저의기저]]의 최소 [[집합의 크기|크기]]인 [[기수 (수학)|기수]]이다. ([[기수 (수학)|기수]]의 순서는 [[정렬 순서]]이므로 이는 항상 존재한다.) [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''지표'''(指標, {{llang|en|character}}) <math>\chi(X)</math>는 국소 지표들의 [[상한]]이다.

'''제1 가산 공간'''은 지표가 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 즉, 모든 점이 [[가산 집합|가산]] [[국소 기저를기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

만약 <math>X</math>가 제1 가산 공간이라면, 가산 [[국소 기저의기저]]의 존재로 인하여 다음 세 번째 조건이 추가로 [[동치]]이다.

가산 무한 개의 원들의 [[쐐기합]] <math>\mathbb R/\mathbb N=\{\{r\}\in\mathbb R\setminus\mathbb N\}\cup\{\mathbb N\}</math> (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 [[몫공간]])은 [[점렬 공간]]이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 <math>\mathbb N\in\mathbb R/\mathbb N</math>은 가산 [[국소 기저를기저]]를 갖지 않기 때문이다.

[[순서수]] <math>\omega_1+1</math>은 ([[순서 위상]]을 부여할 때) 제1 가산 공간이 아니다. 점 <math>\omega_1\in\omega_1+1</math>은 가산 [[국소 기저를기저]]를 갖지 않는다. <math>\omega_1+1</math>은 제1 가산 공간이 아닌 가장 작은 순서수이다.