2016년 7월 3일 (일) 08:17 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 ← 이전 편집		2016년 7월 3일 (일) 08:55 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
3번째 줄: == 정의 == === 순서론적 정의 === [[원순서 집합]]은 [[작은 범주\|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있다. [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''상완비 원격자'''({{llang\|en\|upper-complete prelattice}})라고 한다. 모든 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]을 갖는 [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>을 '''상완비 원반격자'''(上完備原半格子, {{llang\|en\|upper-complete presemilattice}})라고 한다. 마찬가지로, 모든 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]을 갖는 [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>을 '''하완비 원반격자'''(下完備原半格子, {{llang\|en\|lower-complete presemilattice}})라고 한다. 두 상/하완비 원반격자 사이의 '''상/하완비 원반격자 사상'''({{llang\|en\|upper/lower-complete presemilattice morphism}})은 이러한 상한/하한들을 보존하는 함수이다. * <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]이 존재한다. (이러한 상한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\varnothing</math>일 경우 <math>L</math>은 [[최소 원소]]를 갖는다.) * <math>L</math>은 [[쌍대 완비 범주]]이다. ~~'''상완비 원격자 사상'''({{llang\|en\|upper-complete prelattice morphism}})은 이러한 상한들을 보존하는 함수이다.~~ ~~마찬가지로,~~ [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''~~하완비~~완비 원격자'''(完備原格子, {{llang\|en\|~~lower-~~complete prelattice}})라고 한다. * 모든 부분 집합의 [[하한]]이 존재하며, 모든 [[유한 집합\|유한]] [[부분 집합]]의 [[상한]]이 존재한다. * <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. (이러한 하한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\varnothing</math>일 경우 <math>L</math>은 [[최대 원소]]를 갖는다.) * 모든 부분 집합의 [[상한]]이 존재하며, 모든 [[유한 집합\|유한]] [[부분 집합]]의 [[하한]]이 존재한다. * <math>L</math>은 [[완비 범주]]이다. '''~~하완비~~완비 원격자 사상'''({{llang\|en\|~~lower-~~complete prelattice morphism}})은 ~~이러한~~모든 ~~하한들을~~이음과 만남을 보존하는 함수이다. 이 두 조건을 모두 만족시키는 [[원순서 집합]]을 '''완비 원격자'''({{llang\|en\|complete prelattice}})라고 한다. '''완비 원격자 사상'''({{llang\|en\|complete prelattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다. [[부분 순서 집합]]인 완비 원격자를 '''완비 격자'''라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 <math>S</math>의 [[상한]]을 통상적으로 '''이음'''({{llang\|en\|join}}) <math>\textstyle\bigvee S</math>이라고 부르며, 부분 집합 <math>S</math>의 [[하한]]을 '''만남'''({{llang\|en\|meet}}) <math>\textstyle\bigwedge S</math>이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다. === 범주론적 정의 === [[원순서 집합]]은 [[작은 범주\|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있으며, 이 경우 [[상한]]은 [[쌍대 극한]], [[하한]]은 [[극한 (범주론)\|극한]]에 대응된다. 따라서, 위의 순서론적 정의들을 [[범주론]]적 언어로 재서술할 수 있다. 모든 [[작은 범주\|작은]] [[쌍대 완비 범주]]는 항상 원순서 집합([[얇은 범주]])이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 '''상완비 원반격자'''(上完備原半格子, {{llang\|en\|upper-complete presemilattice}})라고 한다. 마찬가지로, 모든 [[작은 범주\|작은]] [[완비 범주]]는 항상 원순서 집합([[얇은 범주]])이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 '''하완비 원반격자'''(下完備原半格子, {{llang\|en\|lower-complete presemilattice}})라고 한다. [[작은 범주]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 '''완비 원격자'''(完備原格子, {{llang\|en\|complete prelattice}})라고 한다. * [[쌍대 완비 범주]]이며, [[시작 대상]]을 비롯한 모든 유한 [[곱 (범주론)\|곱]]을 갖는다. * [[완비 범주]]이며, [[끝 대상]]을 비롯한 모든 유한 [[쌍대곱]]을 갖는다. 이는 [[수반 함자 정리]]에 의하여 함의된다. 완비 원격자에서, 만약 서로 [[동형]]인 두 대상이 항상 같다면, 이를 '''완비 격자'''({{llang\|en\|complete lattice}})라고 한다. == 성질 == 줄 53 ⟶ 63: * {{매스월드\|id=CompleteLattice\|title=Complete lattice}} * {{nlab\|id=complete lattice\|title=Complete lattice}} * {{nlab\|id=CompLat}} * {{nlab\|id=suplattice\|title=Suplattice}} * {{nlab\|id=inflattice\|title=Inflattice}} * {{nlab\|id=complete small category\|title=Complete small category}} * {{웹 인용\|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Lattice\|제목=Definition: complete lattice}} [[분류:격자 이론]]

완비 격자: 두 판 사이의 차이