"완비 격자"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
=== 순서론적 정의 ===
[[원순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있다. [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''상완비 원격자'''({{llang|en|upper-complete prelattice}})라고 한다.
모든 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]을 갖는 [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>을 '''상완비 원반격자'''(上完備原半格子, {{llang|en|upper-complete presemilattice}})라고 한다. 마찬가지로, 모든 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]을 갖는 [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>을 '''하완비 원반격자'''(下完備原半格子, {{llang|en|lower-complete presemilattice}})라고 한다. 두 상/하완비 원반격자 사이의 '''상/하완비 원반격자 사상'''({{llang|en|upper/lower-complete presemilattice morphism}})은 이러한 상한/하한들을 보존하는 함수이다.
* <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]이 존재한다. (이러한 상한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\varnothing</math>일 경우 <math>L</math>은 [[최소 원소]]를 갖는다.)
* <math>L</math>은 [[쌍대 완비 범주]]이다.
'''상완비 원격자 사상'''({{llang|en|upper-complete prelattice morphism}})은 이러한 상한들을 보존하는 함수이다.
 
마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''하완비완비 원격자'''(完備原格子, {{llang|en|lower-complete prelattice}})라고 한다.
* 모든 부분 집합의 [[하한]]이 존재하며, 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]의 [[상한]]이 존재한다.
* <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. (이러한 하한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\varnothing</math>일 경우 <math>L</math>은 [[최대 원소]]를 갖는다.)
* 모든 부분 집합의 [[상한]]이 존재하며, 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]의 [[하한]]이 존재한다.
* <math>L</math>은 [[완비 범주]]이다.
'''하완비완비 원격자 사상'''({{llang|en|lower-complete prelattice morphism}})은 이러한모든 하한들을이음과 만남을 보존하는 함수이다.
 
이 두 조건을 모두 만족시키는 [[원순서 집합]]을 '''완비 원격자'''({{llang|en|complete prelattice}})라고 한다. '''완비 원격자 사상'''({{llang|en|complete prelattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.
 
[[부분 순서 집합]]인 완비 원격자를 '''완비 격자'''라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 <math>S</math>의 [[상한]]을 통상적으로 '''이음'''({{llang|en|join}}) <math>\textstyle\bigvee S</math>이라고 부르며, 부분 집합 <math>S</math>의 [[하한]]을 '''만남'''({{llang|en|meet}}) <math>\textstyle\bigwedge S</math>이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.
 
=== 범주론적 정의 ===
[[원순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있으며, 이 경우 [[상한]]은 [[쌍대 극한]], [[하한]]은 [[극한 (범주론)|극한]]에 대응된다. 따라서, 위의 순서론적 정의들을 [[범주론]]적 언어로 재서술할 수 있다.
 
모든 [[작은 범주|작은]] [[쌍대 완비 범주]]는 항상 원순서 집합([[얇은 범주]])이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 '''상완비 원반격자'''(上完備原半格子, {{llang|en|upper-complete presemilattice}})라고 한다.
 
마찬가지로, 모든 [[작은 범주|작은]] [[완비 범주]]는 항상 원순서 집합([[얇은 범주]])이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 '''하완비 원반격자'''(下完備原半格子, {{llang|en|lower-complete presemilattice}})라고 한다.
 
[[작은 범주]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 '''완비 원격자'''(完備原格子, {{llang|en|complete prelattice}})라고 한다.
* [[쌍대 완비 범주]]이며, [[시작 대상]]을 비롯한 모든 유한 [[곱 (범주론)|곱]]을 갖는다.
* [[완비 범주]]이며, [[끝 대상]]을 비롯한 모든 유한 [[쌍대곱]]을 갖는다.
이는 [[수반 함자 정리]]에 의하여 함의된다.
 
완비 원격자에서, 만약 서로 [[동형]]인 두 대상이 항상 같다면, 이를 '''완비 격자'''({{llang|en|complete lattice}})라고 한다.
 
== 성질 ==
* {{매스월드|id=CompleteLattice|title=Complete lattice}}
* {{nlab|id=complete lattice|title=Complete lattice}}
* {{nlab|id=CompLat}}
* {{nlab|id=suplattice|title=Suplattice}}
* {{nlab|id=inflattice|title=Inflattice}}
* {{nlab|id=complete small category|title=Complete small category}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Lattice|제목=Definition: complete lattice}}
 
[[분류:격자 이론]]