불 대수: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
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| [[원순서 집합]] ⇐ [[부분 순서 집합]] ⇐ || [[유계 격자]] || ⇐ || [[헤이팅 대수]] || ⇐ || 불 대수
|}
=== 환론적 성질 ===
임의의 불 대수 <math>B</math>는 [[가환환]]이며, [[환의 표수|표수]]가 2이며, 따라서 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 [[결합 대수]]이다.
▲불 대수를 [[가환환]]으로 여겼을 때, 그 [[아이디얼]]은 [[순서 아이디얼]]과 일치한다. 또한, 모든 [[소 아이디얼]]은 [[극대 아이디얼]]을 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''표수 2''': 임의의 <math>x\in B</math>에 대하여 <math>0=(x+x)^2-(x+x)=2x^2=2x</math>이다.
'''가환성''': 임의의 <math>x,y\in B</math>에 대하여 <math>0=(x+y)^2-(x+y)=x^2+y^2+xy+yx-x-y=xy+yx</math>이다.
</div></div>
(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, [[다항식환]] <math>\mathbb F_2[x]</math>는 <math>x^2\ne x</math>이므로 불 대수가 아니다.)
=== 아이디얼 ===
불 대수의 임의의 [[몫환]]은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 [[부분환]]은 불 대수이다.
불 대수의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 [[소 아이디얼]]은 [[극대 아아디얼]]이다. 불 대수 <math>B</math>의 임의의 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}B</math>에 대한 [[몫환]]은 크기 2의 [[유한체]]이다.
:<math>B/\mathfrak p\cong\mathbb F_2</math>
불 대수는 [[폰 노이만 정칙환]]이며, 따라서 그 위의 모든 [[가군]]은 [[평탄 가군]]이다.
불 대수의 모든 [[유한 생성 아이디얼]]은 [[주 아이디얼]]이다. 구체적으로
:<math>(x,y)=(x+y+xy)</math>
이다.
=== 범주론적 성질 ===
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