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* <math>\alpha^{\beta+1} = \alpha^\beta\alpha</math>
* <math>\alpha^\beta = \bigcup_{\gamma<\beta}\alpha^\gamma</math> (<math>\beta\ne0</math>은 극한 순서수)
=== 정규 함수 ===
순서수의 [[고유 모임]]을 [[정의역]]과 [[공역 (수학)|공역]]으로 하는 "[[함수]]"(물론, 이는 [[고유 모임]] 위에 정의되므로 엄밀히 말하여 [[함수]]가 아니다) <math>f\colon\operatorname{Ord}\to\operatorname{Ord}</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''정규 함수'''(正規函數, {{llang|en|normal function}})라고 한다.
* [[순증가 함수]]이다. 즉, 임의의 두 순서수 <math>\alpha<\beta</math>에 대하여, <math>f(\alpha)<f(\beta)</math>이다.
* [[순서 위상]]에 대하여 [[연속 함수]]이다. 즉, 극한 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>f(\alpha)=\textstyle\sup_{\beta<\alpha}f(\beta)</math>이다.
예를 들어, 다음과 같은 "함수"들은 정규 함수이다.
* 임의의 순서수 <math>\beta</math>에 대하여, <math>\alpha\mapsto\beta+\alpha</math> (그러나 <math>\alpha\mapsto\alpha+1</math>은 정규 함수가 아니다)
* 임의의 순서수 <math>\beta\ge1</math>에 대하여, <math>\alpha\mapsto\beta\cdot\alpha</math>
* 임의의 순서수 <math>\beta\ge2</math>에 대하여, <math>\alpha\mapsto\beta^\alpha</math>
* [[알레프 수]] <math>\alpha\mapsto\aleph_\alpha</math>
* [[베트 수]] <math>\alpha\mapsto\beth_\alpha</math>
정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.
* 임의의 <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">[[귀류법]]을 사용하자.
:<math>\alpha=\min\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta>f(\beta)\}</math>
라면 <math>\alpha>f(\alpha)>f(f(\alpha))</math>이자 <math>f(\alpha)\in\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta>f(\beta)\}</math>이므로 모순이다.</div></div>
* 임의의 순서수들의 [[집합]] <math>S\subseteq\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\textstyle f(\sup S)=\sup_{s\in S}f(s)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>f</math>가 [[증가 함수]]이므로 <math>\textstyle f(\sup S)\ge\sup_{s\in S}f(s)</math>이다. 따라서 <math>\textstyle f(\sup S)\le\sup_{s\in S}f(s)</math>를 증명하면 족하다. 반대로, <math>\sigma=\sup S</math>에 대하여,
* 만약 <math>\sigma=\varsigma+1</math>이라면, <math>\sigma\in S</math>이며, 따라서 <math>f(\sup S)=f(\sigma)\ge \sigma=f(\sup S)</math>이다.
* 만약 <math>\nexists\varsigma\colon\sigma=\varsigma+1</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>\textstyle f(\sup S)=\sup_{\alpha<\sup S}f(\alpha)\ge\sup_{\alpha\in S}f(\alpha)</math>이다.
</div></div>
'''베블런 고정점 정리'''(Veblen固定點定理, {{llang|en|Veblen fixed-point theorem}})에 따르면, <math>f</math>의 [[고정점]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[고유 모임]]이다 (즉, [[상계 (수학)|상계]]를 갖지 않는다).
:<math>\forall \alpha\in\operatorname{Ord}\exists\beta\in\operatorname{Ord}\colon\left(f(\beta)=\beta>\alpha\right)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 순서수 <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여,
:<math>\beta=\sup\{\alpha,f(\alpha),f(f(\alpha)),\dots\}</math>
를 정의하면,
:<math>f(\beta)=f\left(\sup\{\alpha,f(\alpha),f(f(\alpha)),\dots\}\right)=\sup\{f(\alpha),f(f(\alpha)),\dots\}=\beta</math>
이다.
</div></div>
이에 따라, 정규 함수 <math>f</math>의 '''도함수'''(導函數, {{llang|en|derivative}}) <math>f'\colon\operatorname{Ord}\to\operatorname{Ord}</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>f'(\alpha)</math>는 <math>f</math>의 <math>\alpha</math>번째 [[고정점]]이다.
정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 <math>n</math>에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>f^{(\alpha+1)}=(f^{(\alpha)})'</math>
보다 일반적으로, 임의의 양의 극한 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합
:<math>\bigcap_{\beta<\alpha}\left\{\gamma\in\operatorname{Ord}\colon f^{(\beta)}(\gamma)=\gamma\right\}</math>
은 <math>\operatorname{Ord}</math>와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 <math>f^{(\alpha)}(\gamma)</math>를 위 공통 고정점 집합의 <math>\alpha</math>번째 원소로 정의할 수 있다.
이와 같이, <math>f</math>의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 <math>f</math>의 '''베블런 위계'''({{llang|en|Veblen hierarchy}})라고 한다.
특히, 순서수 <math>\delta</math>에 대하여 <math>\delta</math>진 베블런 위계({{llang|en|base-<math>\delta</math> Veblen hierarchy}})란 정규 함수 <math>\alpha\mapsto\delta^\alpha</math>에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 <math>\alpha\mapsto\omega^\alpha</math>의 베블런 위계를 뜻한다.
== 성질 ==
== 역사 ==
[[게오르크 칸토어]]가 1883년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Cantor|이름=Georg|저자고리=게오르크 칸토어|날짜= 1883|제목=Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre|위치=Leipzig|jfm=15.0453.01|언어=de}}</ref> 원래 순서수의 [[동치류]]로서의 정의는 [[고유 모임]]이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 [[존 폰 노이만]]이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.<ref name="vN"/>
정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 [[오즈월드 베블런]]이 1908년에 도입하였다.<ref name="Veblen">{{저널 인용|제목=Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals|jstor=1988605|doi=10.1090/S0002-9947-1908-1500814-9|저널=Transactions of the American Mathematical Society|이름=Oswald|성=Veblen|저자고리=오즈월드 베블런|권=9|날짜=1908-07|쪽=280–292|issn=0002-9947|언어=en}}</ref> 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"({{llang|en|continuous increasing function}})라고 불렀다.<ref name="Veblen"/>{{rp|281, §1}}
== 참고 문헌 ==
** {{서적 인용|이름=John Horton|성=Conway|공저자=Richard K. Guy|제목=The book of numbers|출판사=Springer|날짜=1996| doi = 10.1007/978-1-4612-4072-3|isbn=978-1-4612-8488-8 | zbl = 0866.00001 | 언어=en}}
*{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | publisher= Springer | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3판 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en}}
* {{저널 인용 |jstor=2272243 |pages=439–459 |last1=Miller |first1=Larry W. |title=Normal functions and constructive ordinal notations |volume=41 |issue=2 |journal=The Journal of Symbolic Logic |날짜=1976 |doi=10.2307/2272243 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | 제목=Constructive ordinal notation systems|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1985/0025570x.di021135.02p0002y.pdf|이름=Frederick S.|성=Glass|저널=Mathematics Magazine|doi=10.2307/2689658|jstor=2689658|권=57|호=3|날짜=1984-05|쪽=131–141|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=What’s so special about Kruskal’s theorem and the ordinal Γ<sub>0</sub>? A survey of some results in proof theory|doi=10.1016/0168-0072(91)90022-E|이름=Jean H.|성=Gallier|저널=Annals of Pure and Applied Logic|권=53|호=3|날짜=1991-09-19|쪽=199–260|언어=en}}
== 바깥 고리 ==
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