선택 공리: 두 판 사이의 차이

공식적인 형식화가 없었음에도 불구하고 19세기 말까지 선택공리는선택 공리는 암묵적으로 수학자들 사이에서 사용되어 왔다. 예를 들어, 집합 <math>X</math>가 공집합이 아닌 집합만을 포함한다고 했을 때, 수학자들은 종종 “모든 <math>X</math>에 포함된 (집합) <math>s</math>에 대해, <math>F(s)</math>를 <math>s</math>의 원소라고 하자” 라고 기술하곤 했다. 일반적으로 (함수) <math>F</math> 가 선택공리선택 공리 없이 존재할 수 있음을 증명하기란 불가능했고, 그로 인해 체르멜로 이전까지는 이를 심각한 문제로 여기지 않았다.

한편, 모든 함수가 선택공리를선택 공리를 필요로 하지는 않는다. 유한 집합 <math>X</math>의 경우, 선택공리는선택 공리는 다른 집합론의 공리들로부터 도출될 수 있다. 각각에 적어도 하나의 물건이 담긴 (유한한) 여러 개의 상자들을 상상 해 보자. 이 때이때 우리는 각 상자에서 정확히 하나의 물건을 선택할 수 있다. 예를 들자면 이런 식이다. 첫 번째 상자에서 물건 한 개를 선택하고, 두 번째 상자로 옮겨 여기서도 물건 한 개를 선택한다. 그 후 세 번째 상자에서도 물건을 하나 선택하고, 이런 방식을 유한한 횟수로 반복해서, 마지막 상자에서 물건을 하나 선택하는 것으로 이 과정을 마칠 수 있다. 이 때, 각 상자에서 하나 씩의 물건을 선택함으로서 보여지는 상자-물건의 관계를 선택 함수에 해당한다고 할 수 있다. 그러나 이런 방법은 공집합이 아닌 집합의 모든 가산 집합족에 대해서도 선택함수가선택 함수가 존재한다는, 가산 선택 공리를 증명하는 데에는 사용될 수 없다. 같은 방법이 공집합이 아닌 집합들의 무한열 (infinite sequence of nonempty sets)에무한열에 적용될 경우, 각각의 유한한 단계에서는 함수가 정의되나 전체 집합족에[[집합족]]에 대한 함수가 정의되는 단계가 존재하지 않게 된다. 결과적으로 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZF)의 체계 하에서아래서 선택공리선택 공리 없이는 어떤 “극한” 선택함수도선택 함수도 구성할 수 없게 되는 것이다.