내적 범주: 두 판 사이의 차이
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[[범주론]]에서, '''내적 범주'''(內的範疇, {{llang|en|internal category}})는 [[작은 범주]]의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. [[작은 범주]]의 개념의 일반화이다.
== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>가 유한 [[곱 (범주론)|곱]] 및 [[당김 (범주론)|당김]]을 갖는다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal C</math> 속의 '''내적 범주'''({{llang|en|internal category}}) <math>(O,M,i,s,t,c)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>O\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
* <math>M\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
* <math>e\colon O\to M</math>은 <math>\mathcal C</math>의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
* <math>s\colon M\to O</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
* <math>t\colon M\to O</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
* <math>M_s\times_tM</math>이 <math>M\xrightarrow sO\xleftarrow tM</math>의 [[당김 (범주론)|당김]]이라면, <math>c\colon M_s\times_tM\to M</math>은 <math>\mathcal C</math>의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.
이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.
* (항등 사상의 정의역과 공역) <math>s\circ e=t\circ e=\operatorname{id}_O</math>. 즉, 다음 그림이 가환한다.
:<math>
\begin{matrix}
M&\xleftarrow e&O&\xrightarrow e&M\\
&{\scriptstyle s}\searrow&\downarrow\scriptstyle{\operatorname{id}_O}&\swarrow\scriptstyle t\\
&&O
\end{matrix}
</math>
* (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.
:<math>
\begin{matrix}
M&\xleftarrow{\pi_1}&M_s\times_tM&\xrightarrow{\pi_2}&M\\
{\scriptstyle t}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle s\\
O&\xleftarrow[t]{}&M&\xrightarrow[s]{}&O
\end{matrix}
</math>
* (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다.
:<math>
\begin{matrix}
M_s\times_tM_s\times_tM&\xrightarrow{\operatorname{id}_M\times c}&M_s\times_tM\\
{\scriptstyle c\times\operatorname{id}_M}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle c\\
M_s\times_tM&\xrightarrow[c]{}&M
\end{matrix}
</math>
* (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다.
:<math>
\begin{matrix}
O\times_tM&\xrightarrow{e\times_t\operatorname{id}_M}&M_s\times_tM&\xleftarrow{\operatorname{id}_M{}_s\times e}&
M\times_sO\\
&{\scriptstyle \pi_2}\searrow&\downarrow\scriptstyle c&\swarrow\scriptstyle\pi_1\\
&&M
\end{matrix}
</math>
===
유한 곱과 당김을 갖는 범주 <math>\mathcal C</math> 속의 '''내적 [[준군]]'''({{llang|en|internal groupoid}}) <math>(O,M,s,t,e,i)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>(O,M,s,t,e)</math>는 내적 범주를 이룬다.
* <math>i\colon M\to M</math>은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.
:<math>\begin{matrix}
M&{{\xrightarrow e}\atop{\xleftarrow[e]{}}}&M\\
&{\scriptstyle s}\searrow&\downarrow\scriptstyle t\\
&&O
\end{matrix}
</math>
* (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.
:<math>\begin{matrix}
M_t\times_t M&\xleftarrow{\operatorname{diag}_M}&M\\
{\scriptstyle i\times\operatorname{id}}\downarrow&&&\searrow\scriptstyle s&\\
M_s\times_tM&\xrightarrow[c]{}&M&\xleftarrow[e]{}&O\\
{\scriptstyle\operatorname{id}\times i}\uparrow&&&\nearrow\scriptstyle t&\\
M_s\times_s M&\xleftarrow[\operatorname{diag}_M]{}&M\\
\end{matrix}</math>
== 예 ==
[[집합]]과 함수의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 속의 내적 범주는 [[작은 범주]]이다.
[[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> 속의 내적 범주는 작은 범주의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> 속의 [[군 대상]]과 사실상 같으며,<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자고리=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|269}} [[교차 가군]]({{llang|en|crossed module}})이라고 불린다.<ref name="Mac Lane"/>{{rp|285–287}}
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
== 바깥 고리 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/internal+category|제목=Internal category|웹사이트=nLab|언어=en}}
== 같이 보기 ==
* [[군 대상]]
▲[[분류:힘]]
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