리만 가설: 두 판 사이의 차이

그러나, ''s''가 1보다 클 때에는 그냥 수렴하지만, 더욱 일반적으로는 모든 부분에서 ''s''는 실수부의 근이 있다. 따라서, 이의 대안으로서 제타 함수를 {{nowrap|Re(''s'') > 1}}에서 {{nowrap|Re(''s'') > 0}}로 1을 제외하고 확장하면 <math>s = 1 + 2\pi in/\ln(2)</math> of <math>1-2/2^s</math>가 된다.

 

:<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\zeta(1-s)</math>

이 경우 하나의 ζ(''s'')는 나머지 모든 0이 아닌 복소수에 대해 정의할 수 있으며 이 방정식은 그 외의 근도 포함하고 있으며 ζ(''s'')는 s에 양의 실수부가 존재할 경우 등호가 성립한다.

리만 제타 함수는 음의 짝수에서 영점을 갖는다.

:<math>\zeta(s)=0\qquad(s=-2,-4,-6,\dots)</math>

 

[[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2]](즉, 1+1+1+...)의 값은 식에서 결정될 수 없지만, ζ(''s'')를 다르게 접근하여 ''s''의 다른 값을 알 수 있다. 또한, 이 제타 함수는 자명한 근 외에 다른 부정적인 실수부에는 0이 될 수 없으며, 이렇게 모든 자명하지 않은 근은 복소수이며 ''s''의 실수부는 0과 1사이에 존재한다. 이 영역