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그렇다면, 리만 가설은 메르텐스 함수가 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 다음을 만족시킨다는 것과 [[동치]]이다.
:<math>M(x) = \mathcal{O}(x^{1/2+\varepsilon}) </math>
(<math>\mathcal O</math>는 [[점근 표기법]]이다.) <math>n\times n</math> [[레드헤퍼 행렬]]({{llanglang|en|Redheffer matrix}})의 [[행렬식]]은 ''M''(''n'')과 같다. 따라서, 리만 가설은 이 행렬식이 얼마나 빨리 증가하는지에 대한 가설로 생각할 수 있다.
1985년 앤드루 오들리츠코({{llanglang|en|Andrew M. Odlyzko}})와 헤르마뉘스 요하너스 요서프 테 릴러({{llang|nl|Hermanus Johannes Joseph te Riele}})는 리만 가설과 레드헤퍼 행렬의 관계를 이용하여 [[메르텐스 추측]]을 반증하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Odlyzko | first=A. M. | last2=te Riele | first2=H. J. J. |title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 | mr=783538 | year=1985 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume=357 | pages=138–160 | doi=10.1515/crll.1985.357.138
| issn=0075-4102| 언어=en}}</ref>
:<math>|M(x)| \le x^\frac{1}{2}.</math>
1984년 기 로뱅({{llanglang|fr|Guy Robin}})은 [[약수 함수]]에 대하여 [[로빈 부등식]]을 발표하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Robin | first=Guy | title=Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann | mr=774171 | year=1984 | journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|series= Neuvième Série | volume=63 | issue=2 | pages=187–213|issn=0021-7824|언어=fr}}</ref> 약수 함수는 다음과 같이 정의되며
:<math>\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d</math>
따라서 다음의 부등식으로 표현된다.
=== 페어리 수열 ===
1924년에 제롬 프라넬({{llanglang|fr|Jérôme Franel}})과 [[에드문트 란다우]]는 리만 가설이 [[페어리 수열]]과 밀접한 관계에 있음을 보였다.<ref>{{저널 인용 | first=J. |last=Franel|이름2=E.|성2=Landau|저자고리2=에드문트 란다우|title=Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198-201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202-206) |journal=Göttinger Nachrichten |pages=198–206|year=1924}}</ref> 엄밀히 말하면 ''F''<sub>''n''</sub>이 순서 ''n''에 대해 1/''n'' 에서 시작하여 1/1 이상이 되는 페어리 수열일 때 모든 ε는 ε > 0이 된다고 하면,
:<math>\sum_{i=1}^m|F_n(i) - i/m| = \mathcal{O}(n^{1/2+\epsilon})</math>
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