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스핀 다양체: 두 판 사이의 차이

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[[미분기하학]]에서, '''스핀 다양체'''(spin多樣體, {{llang|en|spin manifold}})는 [[스피너]]장을 정의할 수 있는 [[다양체]]다. 즉 [[틀다발]] <math>P_\mathrm{SO}M\to M</math>을 이중 [[피복 공간]] <math>\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)</math>에 대하여 적절히 [[주다발]] <math>P_\mathrm{Spin}M\to M</math>으로 확장할 수 있는 [[가향 다양체|가향]] ([[준 리만 다양체|준]]) [[리만 다양체]]다.
 
==스핀 구조정의 ==
임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여, [[스핀 군]]에서 [[특수 직교군]]으로 가는 표준적인 2겹 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]]
<math>n</math>차원 [[가향 다양체|가향]] ([[준 리만 다양체|준]]) [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 '''스핀 구조'''({{llang|en|spin structure}})는 다음을 만족하는 [[스핀 군|Spin(''n'')]]-주다발 <math>\pi_{\operatorname{Spin}}\colon P_{\mathrm{Spin}}(M)\to M</math>과 이중 [[피복 공간]] <math>p\colon P_{\operatorname{Spin}}(M)\to P_{\operatorname{SO}}(M)</math> 으로 구성된다.▼
:<math>1\to\mathbb Z_2rho\hookrightarrowcolon\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrowto\operatorname{SO}(n);\times\operatorname{U}(1mathbb R)\to1</math>.▼
이 존재한다.
 
▲<math>n</math>차원 [[가향 다양체|가향]] ([[준 리만 다양체|준]]) [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 '''스핀 구조'''(spin構造, {{llang|en|spin structure}})는 다음을 만족하는 [[스핀 군|Spin(''n'')]]-주다발 <math>\pi_{\operatorname{Spin}}\colon P_{\mathrm{Spin}}(M)\to M</math>과 이중 [[피복 공간]] <math>p\colon P_{\operatorname{Spin}}(M)\totwoheadrightarrow P_{\operatorname{SO}}(M)</math> 으로 구성된다.
* <math>\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin}}</math>
* 임의의 <math>x\in P_{\operatorname{Spin}}</math>, <math>h\in\operatorname{Spin}(n)</math>에 대하여 <math>p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)</math>이다. (여기서 <math>\cdot</math>은 적절한 [[군의 작용]]이다.) 즉 군의 작용은 <math>p</math>와 가환한다.
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'''스핀 다양체'''는 스핀 구조를 지닌 [[가향 다양체|가향]] ([[준 리만 다양체|준]]) [[리만 다양체]]다.
 
=== 분류스피너 ===▼
<math>n</math>차원의 (적절한 부호수를 지닌) [[스피너]]의 복소 [[벡터 공간]]을 <math>\Delta</math>이라고 부르자. [[스핀 군]]은 스피너 공간에 [[유니터리 군|유니터리]]하게 작용한다. 즉 <math>\kappa\colon\operatorname{Spin}(n)\to\mathrm U(\Delta)</math>이다. 이에 따라, 그 [[올다발|올]]이 <math>\Delta</math>인 복소수 [[연관 벡터 다발]]
:<math>S=P_{\operatorname{Spin}}\times_\kappa\Delta</math>
을 정의할 수 있다. 이를 '''스피너 다발'''({{llang|en|spinor bundle}})이라고 한다. 스핀 다양체 위의 '''스피너장'''(spinor場, {{llang|en|spinor field}})은 스피너 다발의 [[단면 (올다발)|단면]]이다.
 
=== 존재성질 조건 ===
다양체 <math>M</math> 위에 스핀 구조가 존재할 [[필요충분조건필요 충분 조건]]은 2차 [[슈티펠-휘트니 특성류]]({{lang|en|Stiefel-Whitney class}})
:<math>w_2(M)\in H^2(M,\mathbb Z/2)</math>
가 0인지 여부이다.
 
=== 분류 ===
만약 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 [[코호몰로지류]] <math>H^1(M,\mathbb Z/2)</math>의 집합과 [[일대일 대응]]한다. 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 <math>H^1(M,\mathbb Z/2)</math>에 대한 [[아핀 공간]]이다.
 
직관적으로 해석하면, 축약불가능 폐곡선들을 따라 [[스피너]]를 [[평행 운송]]하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 [[양자장론]]에서 [[페르미온]]의 라몽 경계 조건({{llang|en|Ramond boundary condition}}, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건({{llang|en|Neveu–Schwartz boundary condition}}, −)의 선택에 대응한다.
 
== 스핀C 구조 ==
'''스핀C 군'''({{lang|en|spin<sup>c</sup> group}}) <math>\operatorname{Spin^c}(n)</math>은 다음 [[짧은 완전열]]을 만족한다.
:<math>1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa\times\iota}{\hookrightarrow}\operatorname{Spin}(n)\times\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\to1</math>.
여기서 <math>\kappa\times\iota</math>는 다음 두 [[군 준동형]]의 [[대각 사상]]이다.
:<math>1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa}\hookrightarrow\operatorname{Spin}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\to1</math>
:<math>1\to\mathbb Z_2\stackrel{\iota}\hookrightarrow\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{U}(1)\to1</math>
따라서, 스핀C 군은 다음과 같은 [[짧은 완전열]] 또한 만족시킨다.
▲:<math>1\to\mathbb Z_2\hookrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{U}(1)\to1</math>.
'''스핀C 구조'''({{lang|en|spin<sup>c</sup> structure}})의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, [[스핀 군]] 대신 스핀C 군을 사용한다.
 
=== 존재 조건 ===
다양체 <math>M</math> 위에 스핀C 구조가 존재할 필요충분조건은 3차 정수 [[슈티펠-휘트니 특성류]]
:<math>W_3(M)=\beta w_2\in H^3(M,\mathbb Z)</math>
가 0인지 여부이다. 여기서 <math>\beta</math>는 [[복시테인 준동형]]
:<math>\beta\colon H^2(M,\mathbb Z/2)\to H^3(M,\mathbb Z)</math>
이다.
 
▲=== 분류 ===
만약 다양체 <math>M</math> 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들은 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>와 비표준적으로({{lang|en|noncanonically}}) [[일대일 대응]]한다.
 
이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. [[아벨 군]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathbb Z\stackrel{\cdot2}\hookrightarrow\mathbb Z\stackrel{\mod2}\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\to0</math>
을 생각하자. 이에 따라, [[지그재그 보조정리]]를 사용하여 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>\cdots\to H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\cdot2}H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\mod2} H^2(M,\mathbb Z/2)\xrightarrow\beta H^3(M,\mathbb Z)\to\cdots</math>
여기서 <math>\beta</math>는 [[복시테인 준동형]]이다.
 
스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) [[주다발]]을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발들은 그 [[천 특성류]] <math>c_2\in H^2(M,\mathbb Z)</math>에 의하여 분류된다. 이는 위 [[긴 완전열]]에서 첫 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>에 해당하며, 이는 두 번째 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>에서 <math>\cdot2</math>의 [[상 (수학)|상]]에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) "주다발"은 두 번째 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>에서 <math>\cdot2</math>의 [[상 (수학)|상]]에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 <math>\alpha\in H^2(M,\mathbb Z)</math>라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 [[슈티펠-휘트니 특성류]] <math>w_2\in H^2(M,\mathbb Z/2)</math>이므로, 이 방해물이 U(1) "주다발"의 방해물 <math>\alpha</math>와 같으려면 <math>\mod2</math>에 따른 <math>\alpha</math>의 [[상 (수학)|상]]이 <math>w_2</math>이어야 한다. [[완전열]]의 성질에 의하여, 이 조건은 <math>w_2</math>의 [[복시테인 준동형]]에 따른 상 <math>\beta w_2=W_3\in H^3(M,\mathbb Z)=0</math>인 조건과 [[동치]]이다.
 
== 예 ==
줄 61 ⟶ 38:
다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.
* 짝수 차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^{2k}</math>은 스핀 구조를 갖지 않는다.
 
다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.
* 모든 4차원 이하 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]는 스핀C 구조를 갖는다.
* 모든 [[개복소 다양체]]는 스핀C 구조를 갖는다.
* 모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.
 
== 참고 문헌 ==
줄 76 ⟶ 48:
* {{nlab|id=spin structure|title=Spin structure}}
* {{nlab|id=twisted spin structure|title=Twisted spin structure}}
* {{nlab|id=spin^c structure|title=Spin^c structure}}
* {{nlab|id=twisted spin^c structure|title=Twisted spin^c structure}}
* {{nlab|id=spin^c|title=Spin^c}}
* {{nlab|id=Spin^c Dirac operator}}
 
==같이 보기==
* [[스핀 접속]]
* [[스피너]]
* [[스핀C 다양체]]
 
[[분류:리만 다양체기하학]]
[[분류:끈 이론]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/스핀_다양체"