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* 만약 <math>X\sqcup X\to\operatorname{Cyl}X</math>가 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 기둥 대상'''({{llang|en|good cylinder object}})이라고 한다.
* 만약 <math>X\sqcup X\to\operatorname{Cyl}X</math>가 쌍대올뭉치이며, <math>\operatorname{Cyl}X\xrightarrow\sim X</math>가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 '''매우 좋은 기둥 대상'''({{llang|en|very good cylinder object}})이라고 한다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조({{llang|en|Quillen model structure}})를 준 경우 <math>X\times[0,1]</math>는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조({{llang|en|Hurewicz model structure}})에서 <math>X\times[0,1]</math>는 매우 좋은 기둥 대상이다.
두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math> 사이의 '''왼쪽 호모토피'''({{llang|en|left homotopy}})는 어떤 기둥 대상 <math>\operatorname{Cyl}X</math>에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 <math>h\colon \operatorname{Cyl}X\to Y</math>이다.
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