코쥘 접속: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
Osteologia (토론 | 기여) |
||
143번째 줄:
== 성질 ==
공변 미분 <math>\nabla s</math>의, <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s</math>의 <math>x</math> [[근방]]의 값에만 의존한다.<ref name="CCL"/>{{rp|102, Remark 2}}▼
[[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 두 코쥘 접속 <math>\nabla^1</math>, <math>\nabla^2</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,▼
:<math>\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(T^*M\otimes E)</math>▼
는 매끄러운 [[다발 사상]]을 이룬다. 즉, <math>(\nabla^1-\nabla^2)(s)</math>의 <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s(x)\in E_xM</math>에만 의존한다.▼
=== 당김 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
줄 187 ⟶ 180:
:<math>\tau_\gamma\colon E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(1)}</math>
으로 생각할 수 있으며, 이는 벡터 공간의 [[동형]]을 이룬다. 이와 같이, 코쥘 접속은 <math>E</math>의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다.
마찬가지로, 코쥘 초접속 역시 일종의 평행 운송을 정의한다.<ref>{{저널 인용|제목=
Superconnections and parallel transport|arxiv=0711.2766|이름=Florin|성=Dumitrescu|bibcode=2007arXiv0711.2766D|날짜=2007|언어=en}}</ref>
== 분류 ==
▲공변 미분 <math>\nabla s</math>의, <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s</math>의 <math>x</math> [[근방]]의 값에만 의존한다.<ref name="CCL"/>{{rp|102, Remark 2}}
▲[[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 두 코쥘 접속 <math>\nabla^1</math>, <math>\nabla^2</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
▲:<math>\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(T^*M\otimes E)</math>
▲는 매끄러운 [[다발 사상]]을 이룬다. 즉, <math>(\nabla^1-\nabla^2)(s)</math>의 <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s(x)\in E_xM</math>에만 의존한다.
:<math>\nabla^1-\nabla^2\in\Omega^1(M;E\otimes E^*)=\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))</math>
이에 따라, <math>E</math> 위의 코쥘 접속들의 [[모듈러스 공간]]은 <math>\Omega^1(M;\operatorname{End}(E))</math>의 꼴의 [[아핀 공간]]이다.
마찬가지로, 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math> 위의 두 코쥘 초접속 <math>\nabla^1</math>, <math>\nabla^2</math>이 주어졌을 때,
<math>\nabla^1-\nabla^2\in\Omega^-(M;\operatorname{End}(E))
=\bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i}\lelft(M;E^+\otimes(E^-)^*\oplus E^-\otimes(E^+)^*\right)
\oplus
\bigoplus{i=0}^\infty\Omega^{2i+1}\left(M;E^+\otimes(E^+)^*\oplus E^-\otimes(E^-)^*\right)
</math>
이며, <Math>E</math> 위의 코쥘 초접속들의 [[모듈러스 공간]]은 <math>\Omega^-(M;\operatorname{End}(E))</math>의 꼴의 [[아핀 공간]]이다.<ref name="BGV"/>{{rp|45, Corollary 1.40}}
== 예 ==
| |||