2015년 4월 26일 (일) 16:06 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2017년 1월 30일 (월) 12:20 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: {{양자장론}} [[산란]] 이론에서, '''산란 행렬'''(散亂行列, {{llang\|en\|scattering matrix}}) 또는 '''S행렬'''이란 [[산란]] 과정을 겪는 [[계 (물리학)\|계]]의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 [[유니타리 행렬]]이다. 기호는 ''S''. 이를 이용하여 [[~~산란단면적~~산란 단면적]]이나 [[붕괴율]] 따위를 계산할 수 있다. [[양자장론]]에서는 산란 행렬을 [[파인먼 도형]]으로 계산할 수 있다. [[1937년]]에 [[존 휠러]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용\|이름=John Archibald\|성=Wheeler\|저자고리=존 휠러\|제목=On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure\|저널=Physical Review\|권=52\|호=11\|쪽=1107–1122\|연도=1937\|doi=10.1103/PhysRev.52.1107\|bibcode=1937PhRv...52.1107W}}</ref> == ~~수학적~~ 정의 == 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. * [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> * [[자기 수반 작용소]] <math>H_0\colon\operatorname{dom}H_0\to \mathcal H</math>, <math>\operatorname{dom}H_0\subseteq\mathcal H</math>. 이를 '''자유 해밀토니언'''({{llang\|en\|free Hamiltonian}})이라고 하자. * [[자기 수반 작용소]] <math>H\colon\operatorname{dom}H\to \mathcal H</math>, <math>\operatorname{dom}H\subseteq\mathcal H</math>. 이를 '''상호 작용 해밀토니언'''({{llang\|en\|interacting Hamiltonian}})이라고 하자. [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 임의의 자기 수반 작용소 <math>A</math>에 대하여, 그 [[스펙트럼 (함수해석학)\|스펙트럼]]의 분해를 통해 <math>\mathcal H</math>를 :<math>\mathcal H=\mathcal H_{\text{ac},A}\oplus\mathcal H_{\text{sc},A}\oplus\mathcal H_{\text{pp},A}</math> 로 분해할 수 있다. 여기서 * <math>\mathcal H_{\text{ac},A}</math>는 완전 연속 스펙트럼({{llang\|en\|purely continuous spectrum}})에 대응한다. * <math>\mathcal H_{\text{sc},A}</math>는 특이 연속 스펙트럼({{llang\|en\|singular continuous spectrum}})에 대응한다. * <math>\mathcal H_{\text{pp},A}</math>는 순수 점 스펙트럼({{llang\|en\|purely point spectrum}})에 대응한다. 마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 [[사영 작용소]] :<math>\operatorname{proj}_{\text{ac},A},\operatorname{proj}_{\text{sc},A},\operatorname{proj}_{\text{pp},A}\colon\mathcal H\to\mathcal H</math> 를 정의할 수 있다. 또한, [[자기 수반 작용소]]에 대한 보렐 범함수 미적분학({{llang\|en\|Borel functional calculus}})을 통해, <math>x\mapsto\exp(\mathrm itx)</math>는 [[유계 함수]]이므로, 임의의 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 [[유니터리 작용소]] :<math>\exp(\mathrm itH_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math> :<math>\exp(\mathrm itH)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math> 를 정의할 수 있다. 이제, <math>H_0</math>와 <math>H</math>에 대한 '''파동 연산자'''(波動演算子, {{llang\|en\|wave operator}})는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.<ref name="Yafaev">{{저널 인용\|날짜=2004\|arxiv=math/0403213\|제목=Lectures on scattering theory\|이름=Dmitri\|성=Yafaev\|bibcode=2004math......3213Y\|언어=en}}</ref>{{rp\|Definition 1.1}} :<math>\operatorname W_\pm(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math> :<math>\operatorname W_\pm(H,H_0)=\lim_{t\to\infty}\exp(\pm\mathrm iHt)\exp(\mp\mathrm iH_0t)\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0}</math> 여기서 [[극한]]은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 <math>W_\pm(H,H_0)</math>의 [[치역]]이 <math>\mathcal H_{\text{ac},H}</math>라면 파동 연산자를 '''완비 파동 연산자'''(完備波動演算子, {{llang\|en\|complete wave operator}})라고 하며,<ref name="Yafaev"/>{{rp\|Definition 1.2}} 이는 <math>\mathcal H_{\text{ac},H_0}</math>와 <math>\mathcal H_{\text{ac},H}</math> 사이의 [[복소수 힐베르트 공간]] 동형 사상([[전단사 함수\|전단사]] [[유니터리 작용소]])을 정의한다. <math>H_0</math>와 <math>H</math>에 대한 '''산란 연산자'''(散亂演算子, {{llang\|en\|scattering operator}}) 또는 '''산란 행렬'''은 다음과 같다.<ref name="Yafaev"/> :<math>\operatorname S(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math> :<math>\operatorname S(H,H_0)=\operatorname W_+^(H,H_0)\operatorname W_-(H,H_0)</math> 만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 [[전단사 함수\|전단사]] [[유니터리 변환]] :<math>(\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0})\colon \mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H}</math> 를 정의한다. 간혹 '''T 연산자'''를 <math>\operatorname T(H,H_0)=-\mathrm i(\operatorname S(H,H_0)-\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0})</math> 보통로 정의하기도 한다. 즉, <math>~~S=1+iT~~\mathcal H_{\text{ac},H_0}</math>와에 같이제한하면, <math>T\operatorname S=\mathrm iT</math> ~~행렬을 같이 정의한다~~이다. ~~여기서 <math>T</math>는~~이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.▼ == 성질 ==▼ 파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다. :<math>\operatorname W_\pm(H,H_0)H_0=H\operatorname W_\pm(H,H_0)</math> 산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다. :<math>\operatorname S(H,H_0)H_0=H_0\operatorname S(H,H_0)</math> [[위그너 정리]]에 따라, 만약 <math>\operatorname W_\pm(H,H_0)</math>가 둘 다 완비라면, :<math>\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0}</math> 는 <math>\mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H_0}</math> [[유니터리 작용소]]이다. == 응용 == [[하이젠베르크 묘사]]를 쓰자. [[민코프스키 공간]]에서 [[질량 간극]]을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 [[포크 공간]]을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 <math>\mathcal H_\text{I}</math>와 나중 상태의 포크 공간 <math>\mathcal H_\text{F}</math>를 다음과 같이 적을 수 있다. :<math>\mathcal H_\text{I}= \operatorname{span}\{ \left\| k_1\ldots k_n \right\rangle = a_i^\dagger (k_1)\cdots a_i^\dagger (k_n)\left\| I, 0\right\rangle_\text{I}\}</math> :<math>\mathcal H_\text{F}= \operatorname{span}\{ \left\| p_1\ldots p_n \right\rangle = a_f^\dagger (p_1)\cdots a_f^\dagger (p_n)\left\| F, 0\right\rangle_\text {F}\}</math> 이들은 자유 해밀토니언 <math>H_0</math>의 고유 벡터 기저를 정의한다. 따라서 ~~'''~~산란 ~~행렬'''~~연산자 ''<math>S~~''를~~</math>는 다음과 같이 ~~정의한다~~표현된다. :<math>\left \langle\beta \right \|_\text{I}S\left \|\alpha\right\rangle_\text{I} = S_{\alpha\beta} = \left \langle \beta \|_\text{F}\|\alpha\right\rangle_\text{I}</math>. 또한양자 장론에서는 산란 ~~행렬을~~연산자를 보통 [[상관함수]]로를 ~~나타낼 수도 있는데~~통한, 이를 [[LSZ 축약 공식]]~~이라고~~이라는 [[점근적 급수]]로 나타낼 수 한다있다. [[상관함수]]는 [[파인먼 도형]]으로 계산할 수 있다.▼ ▲보통 <math>S=1+iT</math>와 같이 <math>T</math> 행렬을 같이 정의한다. 여기서 <math>T</math>는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다. ▲== 성질 == ~~[[위그너 정리]]에 따라 ''S''는 [[유니터리 연산자]]다. 또한 다음을 만족한다.~~ 또한, 양자 장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다. <math>S\left\|0\right\rangle = \left\|0\right\rangle</math> ([[진공]]에서의 [[항등 함수\|항등성]]) * <math>S\left\| k\right\rangle=\left\| k\right\rangle</math> (~~단입자상태에서의~~단입자 상태에서의 항등성) 이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다. == 역사 == 만약 상호작용 [[해밀토니안]]을 알면, 산란행렬을 상호작용 해밀토니안 <math>H_\text{int}(x)</math>의 [[급수]]로 나타낼 수 있다. 이를 [[다이슨 급수]]라 하며, [[프리먼 다이슨]]이 도입하였다. 산란 행렬의 개념은 1937년에 [[존 휠러]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용\|이름=John Archibald\|성=Wheeler\|저자고리=존 휠러\|제목=On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure\|저널=Physical Review\|권=52\|호=11\|쪽=1107–1122\|날짜=1937\|doi=10.1103/PhysRev.52.1107\|bibcode=1937PhRv...52.1107W\|언어=en}}</ref> ~~: <math>S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!} \int \cdots \int d^4x_1 d^4x_2 \ldots d^4x_n T [ H_\text{int}(x_1) H_\text{int}(x_2) \cdots H_\text{int}(x_n)] </math>~~ == 참고 문헌 ==▼ ~~여기서 <math>T[\cdots]</math>는 [[시간 순서화]](time ordering)다.~~ {{각주}}▼ * {{서적 인용\|이름=Dmitry R.\|성=Yafaev\|제목=Mathematical scattering theory: the general theory\|출판사=American Mathematical Society\|날짜=1995\|총서=Translations of Mathematical Monographs\|url=http://bookstore.ams.org/mmono-105-s/\|isbn=978-0-8218-0951-8\|언어=en}} ▲또한 산란 행렬을 [[상관함수]]로 나타낼 수도 있는데, 이를 [[LSZ 축약 공식]]이라고 한다. [[상관함수]]는 [[파인먼 도형]]으로 계산할 수 있다. * {{서적 인용\|이름=Dmitry R.\|성=Yafaev\|제목=Mathematical scattering theory: analytic theory\|출판사=American Mathematical Society\|날짜=2010\|총서=Mathematical Surveys and Monographs\|권=158\|doi=10.1090/surv/158\|언어=en}} * {{서적 인용\|총서=Operator theory: advances and applications\|권=9\|날짜=1983\|제목=Mathematical Scattering Theory\|이름=Hellmut\|성=Baumgärtel\|이름2=Manfred\|성2=Wollenberg \|isbn=978-3-0348-5442-9 \|언어=en}} * {{서적 인용\|장url=http://www.math.caltech.edu/SimonPapers/R16.pdf\|장=An overview of rigorous scattering theory\|이름=Barry\|성=Simon\|제목=Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects\|출판사=University of West Ontario\|editor1-first=J.\|editor1-last=Nuttal\|날짜=1978\|쪽=1–24\|언어=en}} * {{서적 인용\|이름1=Michael\|성1=Reed\|이름2=Barry\|성2=Simon\|제목=Scattering Theory\|총서=Methods of Modern Mathematical Physics\|권=3\|출판사=Academic Press\|날짜=1979\|언어=en}} == 같이 보기 == 줄 30 ⟶ 80: * [[LSZ 축약 공식]] * [[윅의 정리]] ▲== 참고 문헌 == ▲{{각주}} [[분류:양자역학]] [[분류:양자장론]] [[분류:함수해석학]]

산란 행렬: 두 판 사이의 차이