2017년 3월 15일 (수) 07:05 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2017년 3월 15일 (수) 09:49 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[~~추상대수학~~K이론]]에서, '''그로텐디크 군'''({{lang\|en\|Grothendieck group}})은 [[가환 모노이드]]로 정의할 수 있는 [[아벨 군]]이다. [[알렉산더 그로텐디크]]가 [[K이론]]을 다루기 위하여 정의하였다. == 정의 == === 퀼런 완전 범주 === ~~<math>(M,+)</math>가 [[가환 모노이드]]라고 하자. 그렇다면 <math>M\times M</math>에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자.~~ '''퀼런 완전 범주'''({{llang\|en\|Quillen-exact category}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다. :<math>(m,n)\sim(m+p,n+p)</math>. (<math>m,n,p\in M</math>)▼ * [[가법 범주]] <math>\mathcal A</math> ~~이에 따라, <math>G=(M\times M)/\sim</math>에 다음과 같은 [[아벨 군]] 구조가 존재한다.~~ * 하나의 공역이 다른 하나의 정의역이 되는 [[사상 (수학)\|사상]] 순서쌍들의 모임 <Math>\mathfrak E\subseteq\{(f,g)\colon \operatorname{codom}f=\operatorname{dom}g\}</math>. 그 원소를 '''짧은 완전열'''이라고 한다. 또한, <math>\mathfrak C=\{f\colon(f,g)\in\mathfrak E\}</math>, <math>\mathfrak F=\{g\colon (f,g)\in\mathfrak E\}</math>를 정의하자. :<math>(m,n)+(m',n')=(m+m',n+n')</math>▼ 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. :<math>0_G=(m,m)</math>▼ * 임의의 두 대상 <math>A,b\in\mathcal A</math>의 직합에 등장하는 사상 <math>A\to A\oplus B\to B</math>는 항상 <math>\mathfrak E</math>에 속한다. :<math>-(m,n)=(n,m)</math>.▼ * 만약 <math>(f,g)\in\mathfrak E</math>이라면, <math>g=\ker f</math>이며 <math>f=\operatorname{coker}g</math>이다. ~~이 [[아벨 군]] <math>G</math>를 [[가환 모노이드]] <math>M</math>에 대한 '''그로텐디크 군'''이라고 한다.~~ * 임의의 <Math>(X\overset fY\overset gZ)\in\mathfrak E</math> 및 임의의 사상 <math>W\overset h\to Z</math>에 대하여, [[당김 (범주론)\|당김]] <Math>Y\times_ZW</math>가 존재하며, 사영 사상 <math>Y\times_ZW\to W</math> 역시 [[핵 (수학)\|핵]]을 가지며, <math>(\ker Y\times_ZW\to W,Y\times_ZW\to W)\in\mathfrak E</math>이다. 마찬가지로 그 쌍대 공리 역시 성립한다. === 성질그로텐디크 군 === [[작은 범주\|작은]] 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 [[아벨 범주]]) <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 [[짧은 완전열]] 그로텐디크 군 연산은 [[함자 (수학)\|함자]] <math>\operatorname{AbMon}\to\operatorname{Ab}</math> (아벨 모노이드에서 아벨 군으로 가는 함자)를 이룬다. 이는 망각 함자(forgetful functor) <math>\operatorname{Ab}\to\operatorname{AbMon}</math>에 대한 [[왼쪽 수반 함자]]이다. :<math>A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C</math> 에 대하여, 형식적 관계 ▲:<math>~~0_G~~[A]+[C]=~~(m,m)~~[B]</math> 를 정의하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 [[아벨 군]]을 <math>\mathcal A</math>의 '''그로텐디크 군'''이라고 하며, <math>\operatorname K(\mathcal A)</math>로 표기한다. (이 기호 <math>\operatorname K(-)</math>는 [[K이론]]에서 딴 것이다.) === “최소” 완전 범주의 경우 === [[작은 범주\|작은]] [[가법 범주]] <math>\mathcal A</math> 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 [[완전 범주]] 구조를 주자. ▲:<math>~~-(m,n)=(n,m)~~A\to A\oplus B\to B</math>. (여기서 위의 두 사상은 [[곱 (범주론)\|곱]] 및 [[쌍대곱]]의 [[보편 성질]]에 등장하는 것들이다. <math>\oplus</math>는 [[곱 (범주론)]]=[[쌍대곱]]이다.) 이는 <math>\mathcal A</math> 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) [[완전 범주]] 구조이다. 이 경우, <math>\mathcal A</math>의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다. 우선, 일반적으로, [[가환 모노이드]]의 범주 <math>\operatorname{CMon}</math>와 [[아벨 군]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ab}</math> 사이의 포함 함자 :<math>\operatorname{Ab}\to\operatorname{CMon}</math> 는 (둘 다 [[대수 구조 다양체]]이므로) [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다. 이 함자를 :<math>F\colon\operatorname{CMon}\to\operatorname{Ab}</math> 라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다. <div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours"> '''함자 <math>F</math>의 구성''': <div class="mw-collapsible-content"> [[가환 모노이드]] <math>(M,+)</math>의 [[상 (수학)\|상]]은 다음과 같다. :<math>F(M)\cong\left(\frac{M\times M}{\sim},+\right)</math> ▲:<math>(m,n)\sim (m+p,n+p)~~</math>.~~ \qquad(~~<math>~~m,n,p\in M)</math>) ▲:<math>[(m,n)]_\sim+[(m',n')]_\sim=[(m+m',n+n')]_\sim</math> 여기서 순서쌍 <math>(m,n)</math>의 동치류는 보통 <math>m-n</math>으로 표기된다. 위 연산에서, <math>(m,n)</math>의 의 [[동치류]]의 역원은 <math>(n,m)</math>의 [[동치류]]이며, 덧셈 항등원은 (임의의 <math>m\in M</math>에 대하여) <math>(m,m)</math>의 [[동치류]]이다. 두 가환 모노이드 사이의 [[모노이드 준동형]] <math>f\colon M\to N</math>의 상은 다음과 같다. :<math>F(f)\colon [(m,m')]_\sim\mapsto [(f(m),f(m')]_\sim</math> </div></div> 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 대상들의 ([[동형 사상]]에 대한) [[동치류]]들의 집합 <math>\operatorname{Iso}(\mathcal A)</math>을 생각하면, <math>(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)</math>는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 이 경우 <math>\mathcal A</math>의 그로텐디크 군은 다음과 같다. :<math>\operatorname K(\mathcal A)=F(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)</math> 간혹 일부 문헌에서는 함자 <math>F</math> 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다. == 예 == === 위상 K이론 === [[자연수]](음이 아닌 [[정수]])의 집합은 덧셈에 대하여 [[가환 모노이드]] <math>(\mathbb N,+)</math>를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 [[정수]]의 [[아벨 군]] <math>(\mathbb Z,+)</math>이다. {{본문\|위상 K이론}} <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. [[콤팩트 공간\|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 다발]]들의 [[범주 (수학)\|범주]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>를 생각하자. 이는 [[가법 범주]]이며, 그 대상(들의 동형류)들은 [[집합]]을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 [[완전 범주]] 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 <math>X</math>의 '''<math>\mathbb K</math>-[[위상 K이론]]'''이라고 한다. === 가군 === [[자연수]]의 집합은 곱셈에 대하여 [[가환 모노이드]] <math>(\mathbb N,\times)</math>를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 양의 [[유리수]]의 [[아벨 군]] <math>(\mathbb Q^+,\times)</math>이다. [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{fgMod}_R</math>를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 <Math>\operatorname K(\operatorname{fgMod}_R)</math>를 취할 수 있다. 또한, [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군\|유한 생성]] [[사영 가군]]들의 [[가법 범주]] <math>\operatorname{fgpMod}_R</math>를 생각하자. 이는 [[아벨 범주]]가 아니지만, 최소 [[퀼런 완전 범주]] 구조를 부여하여 그로텐디크 군 <Math>\operatorname K(\operatorname{fgpMod}_R)</math>를 취할 수 있다. [[정수]]의 집합은 곱셈에 대하여 [[가환 모노이드]] <math>(\mathbb Z,\times)</math>를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 [[자명군]]이다. 이는 <math>m/n\sim m\cdot0/n\cdot0\sim0/0</math>이기 때문이다. 또한, [[가환환]] <math>R</math> 위의 모든 [[단순군]]들의 [[동형류]]들은 [[집합]]을 이루며, 따라서 이로 생성되는 [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^{\oplus\operatorname{Iso}(\operatorname{simpleMod}_R)}</math>을 생각할 수 있다. 만약 <math>R</math>가 어떤 [[체 (수학)\|체]] 위의 유한 차원 [[결합 대수]]라면, 위의 세 [[아벨 군]]은 서로 동형이다. :<Math>\operatorname K(\operatorname{fgMod}_R)\cong \operatorname K(\operatorname{fgpMod}_R)\cong \mathbb Z^{\oplus\operatorname{Iso}(\operatorname{simpleMod}_R)}</math> === 유한 차원 벡터 공간 === [[체 (수학)\|체]] <Math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]]들의 [[아벨 범주]] <Math>\operatorname{fgMod}_K</math>를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 [[자연수]]의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다. :<math>\dim_K\colon\operatorname{Iso}(\operatorname{fgMod}_K)\to \mathbb N</math> :<math>\dim K\colon K^{\oplus n}\mapsto n</math> 벡터 공간의 [[직합]]은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, <Math>\operatorname{fgMod}_K</math>의 그로텐디크 군은 [[무한 순환군]] <math>F(\mathbb N)=\mathbb Z</math>이다. == 바깥 고리 == 줄 26 ⟶ 74: * {{웹 인용\|제목=Definition of a Grothendieck ring\|제목=http://mathoverflow.net/questions/74433/definition-of-a-grothendieck-ring\|출판사=Math Overflow\|언어=en}} [[분류:~~추상대수학~~K이론]] [[분류:호몰로지 대수학]] [[분류:대수적 위상수학]] [[분류:추상대수학]]

그로텐디크 군: 두 판 사이의 차이