리만 가설: 두 판 사이의 차이
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를 '''임계선'''({{llang|en|critical line}})이라 한다.
리만 가설은 다음과 같은 추측이다.<ref name="Bombieri">{{서적 인용|성=Bombieri|이름=Enrico|저자고리=엔리코 봄비에리|날짜=2000|장=The Riemann Hypothesis
* [[리만 제타 함수]]의 자명하지 않은 모든 영점들은 임계선 위에 있다. 즉, 이들의 실수 성분은 {{frac|1|2}}이다.
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이를 [[린델뢰프 가설]]({{lang|en|Lindelöf hypothesis}})이라고 한다.
만약 리만 가설이 참이라면, 다음이 성립한다.<ref name="Titchmarsh1936">{{저널 인용 | last=Titchmarsh | first=Edward Charles | authorlink=에드워드 찰스 티치마시 | title=The Zeros of the Riemann Zeta-Function | jstor=96692 | publisher=The Royal Society | year=1936 | journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | volume=157 | issue=891 | pages=261–263 | doi=10.1098/rspa.1936.0192|issn=0080-4630
:<math> e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le 2e^\gamma</math>
:<math> \frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma</math>
=== 소수의 분포 ===
만약 리만 가설이 참이라면, 소수 사이의 간격은 다음과 같다. 이는 스웨덴의 수학자 [[하랄드 크라메르]]({{lang|sv|Harald Cramér}})가 증명하였다.<ref>{{서적 인용 |성=Dan |이름=Rockmore
:<math>\mathcal O(\sqrt p\ln p)</math>
또한 크라메르는 여기에 ''p''까지의 실제 소수의 갯수와 log''p''의 차가 ''O''(√''p'' log ''p'')와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 [[크라메르 추측]]이라 하며, 이에 대한 상당한 수치적 증거가 존재한다.<ref>{{저널 인용 | last = Nicely | first = Thomas R. | doi = 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 | mr = 1627813 | issue = 227 | journal = Mathematics of Computation | pages = 1311–1315 | title = New maximal prime gaps and first occurrences | url = http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html | volume = 68 | year = 1999 | 언어=en}}</ref>
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함수체 위에 정의되는 고스 제타 함수({{llang|en|Goss zeta function}})에 대한 리만 가설 역시 증명되었다.<ref>{{저널 인용 | last1=Sheats | first1=Jeffrey T. | title=The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for '''F'''<sub>q</sub>[T] | doi=10.1006/jnth.1998.2232 | mr=1630979 | year=1998 | journal=Journal of Number Theory | volume=71 | issue=1 | pages=121–157}}</ref>
이를 넘어서, [[정수환]] 위의 임의의 [[유한형 사상|유한형]] 스킴에 대하여 리만 가설을 일반화할 수 있다.<ref>{{인용| last=Serre | first=Jean-Pierre |authorlink=장피에르 세르| title=Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)
== 부분적 증명 ==
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