닮음 (기하학): 두 판 사이의 차이
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[[파일:Similar-geometric-shapes.svg|thumb|300px|닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.]]
수학에서 '''닮음'''({{llang|en|Similarity}})이란 어떤 두 도형이 있을때, 두 도형은 크기에 관계 없이 모양이 같을때를 말한다. 즉, 닮음은 두 도형의 모양과 크기가 같아야 하는 [[합동]]의 경우를 포함하며, 두 도형의 크기가 달라도 모양이 같은 경우까지 포함한다.
닮음은 두 닮은 삼각형의 관계를 이용해서 모르는 변의 길이를 구하는데 매우 유용하다. 그 이유는 닮음인 두 도형의 대응변의 [[비 (수학)| 비]]가 각각 같으므로 [[비례식]]을 이용해서 식을 세울 수 있는데, 삼각형은 도형중에서 변의 개수가 제일 적은 다각형이므로 다른 다각형들과 달리 비례식을 매우 간단히 세울 수 있다.
참고로, 모든 [[원 (기하학)|원]]은 서로 닮음이고, 모든 [[정다각형|정다각형,]] [[정다면체,]] [[직각이등변삼각형]]도 서로 닮음이다.
== 삼각형의 닮음 ==
삼각형 ''ABC''와 삼각형 ''DEF''가 닮음일 때, 다음과 같은 기호로 표기한다.
:<math>\triangle ABC \sim \triangle DEF</math>
조건은 다음과 같다.
:SSS(변-변-변): 세 변의 길이의 비가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.
:SAS(변-각-변): 두 변의 길이의 비와 끼인각의 크기가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.
:AA(각-각): 두 각의 크기가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.
증명은 다음과 같이 할 수 있다.
SSS 닮음
변의 비율을 a라고 하면 변의 비율이 a인 닮은 삼각형을 그릴 수 있고 이 삼각형은 SSS 합동조건에 의해 합동이 되므로 닮음이다.
SAS 닮음
변의 비율을 a라고 하고 각을 b라고 하면 변의 비율이 a이고 각이 b인 닮은 삼각형을 그릴 수 있고 이 삼각형은 SAS 합동조건에 의해 합동이 되므로 닮음이다.
AA 닮음
각을 a,b라고 하고 두 각을 사이로 두는 변의 비율을 c라고 하면 각이 a,b이고 변의 비율이 c인 닮은 삼각형을 그릴 수 있고 이 삼각형은 ASA 합동조건에 의해 합동이 되므로 닮음이다.
삼각형의 합동조건과 닮음조건은 다르다
== 닮음비 ==
{{본문|금강비}}
<!-- [[파일:Ratio similarity g8159.png|thumb|100px|닮음비(ratio similarity)에대한 도형 그래픽]] -->
[[파일:Ratio-similarity001.svg|thumb|100px| 닮음비(ratio similarity) 도형]]
두 도형이 서로 닮음일 때, 대응하는 선분의 길이 비율을 닮음비라 한다.
예를 들어, 서로 닮음인 두 삼각형 ''ABC''와 ''DEF''가 있을 때,
삼각형 ''ABC''의 각 변 길이가 서로 대응하는 삼각형 ''DEF''의 각 변 길이보다 두 배 길다고 하면 ''ABC''와 ''DEF''의 닮음비는 2:1이 된다.
닮음비가 1:1이 되는 도형은 합동이다.
[[파일:A size illustration2 with letter and legal.svg|섬네일|종이크기 841mm*1189mm]]
:<math>\Sigma </math>를 닮음비( ratio of similarity )의 상수라고 할때,
닮음비<math>\Sigma </math>의 정의는 "자기자신과 그리고 자기자신과 똑같은 크기의 합은 자기자신과 똑같은 비율의 전체가 된다."이다. 이것은 [[자기 동형 사상]]의 일종이다.
:<math>1:x = {x} : 2</math>
:<math>{x^2} = 2</math>
:<math> x = \sqrt{2}</math>
:<math>similarity \; ratio = 1:\sqrt{2}</math>
:<math>\Sigma =\sqrt{2}</math> 이다.
이러한 도형의 닮음비는 [[종이크기]]에 대한 [[국제표준]](ISO)으로 사용된다.
, ISO 종이 크기는 2의 [[제곱근]](<math>\sqrt{2}</math> )의 단일 가로세로비, 곧, 1:1.4142에 기반한다.
== 같이 보기 ==
* [[황금비]]
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