마요라나 스피너: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) 잔글 →4차원 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
27번째 줄:
* 계수가 <math>\mathbb R</math>인 경우 (즉, <math>s-t\in\{0,6,7\}</math>, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 스핀 군 <Math>\operatorname{Spin}(s,t)</math>의 실수 표현이 존재한다. 이를 '''마요라나 스피너'''라고 한다.
* 만약 계수가 <Math>\mathbb R</math>가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 (즉, <math>\operatorname{Cl}(t,s)</math>가 마요라나 스피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 '''유사 마요라나 스피너'''({{llang|en|pseudo-Majorana spinor}})라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
* 계수가 <math>\mathbb H</math>일 경우, 만약 <math>2k</math> 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 <math>2k</math> 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 <math>k</math>차원 [[사원수 벡터 공간]] 위의 표현을 이룬다. 이를 '''심플렉틱-마요라나 스피너'''({{llang|en|symplectic-Majorana spinor}})라고 한다.
== 성질 ==
줄 34 ⟶ 35:
=== 물리학적 성질 ===
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.
만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 [[바일 스피너]]로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.
== 예 ==
줄 112 ⟶ 115:
는 순수 실수 [[감마 행렬]]을 이룬다. 이 표현의 존재는 [[실수 리 대수]]의 동형
:<math>\mathfrak o(3,1) \cong \operatorname{sl}(2;\mathbb C)</math>
에서 유래한다. 여기서 <Math>\otimes</math>는 두 2×2 행렬의 [[크로네커 곱]]이다.
부호수가 <math>(s,t)=(2,2)</math>일 때, [[실수 리 대수]] 동형
줄 119 ⟶ 122:
=== 5차원 ===
5차원에서
:<math>\operatorname{Cl}(5,0)\cong\operatorname{Cl}(3,2) \cong\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(4,1)\cong\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)</math>
즉, 부호수가 <math>(s,t)=(2,3)</math>일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 [[5차원 회전군]]의 특수한 동형
:<math>\operatorname{Spin}(2,3) \cong \operatorname{Sp}(4;\mathbb R)</math>
에서 기인한다.
다른 부호수의 경우,
:<math>\operatorname{Spin}(1,4)\cong\operatorname{USp}(2,2)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)</math>
으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.
=== 6차원 ===
6차원에서 실수 [[클리퍼드 대수]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cl}(6,0) = \operatorname{Cl}(3,3) = \operatorname{Cl}(2,4) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(5,1) = \operatorname{Cl}(4,2) = \operatorname{Cl}(0,6) = \operatorname{Mat}(4;\mathbb H)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(1,5) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb C)</math>
즉, 부호수 <math>(s,t) = (6,0),(3,3),(2,4)</math>일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 [[실수 리 대수]]의 동형
:<math>\mathfrak o(6;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(4;\mathbb C)</math>
:<math>\mathfrak o(3,3;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)</math>
:<math>\mathfrak o(2,4) \cong \operatorname{su}(2,2)</math>
에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼ᄍᆃᆨ과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>의 정의 표현이다.
부호수 (5,1)의 경우, [[실수 리 대수]]의 동형
:<math>\mathfrak{sl}(5,1) \cong\mathfrak{su}^*(4) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb H)</math>
로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.
== 역사 ==
| |||