마요라나 스피너: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) |
||
39번째 줄:
* <math>\operatorname{Cl}^+(s,t)</math>의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.
== 성질 ===== 디랙 스피너의 실수 조건 ===
<math>n</math>차원 시공간의 '''디랙 피너'''({{llang|en|Dirac pinor}})는 복소수 클리퍼드 대수
:<math>\operatorname{Cl}(n;\mathbb C) = \begin{cases}
\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)&2\nmid n\\
\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)&2\mid n
\end{cases}</math>
:<math>N=2^{\lfloor n/2\rfloor}</math>
의 <math>N</math>차원 정의 표현이다. 만약 <math>n</math>이 짝수인 경우, 이는 두 개의 <math>N/2</math>차원 '''바일 피너'''({{llang|en|Weyl pinor}})로 분해된다.
복소수 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cl}(n;\mathbb C)</math>는 [[에르미트 형식]]
:<math>\langle -|-\rangle </math>
을 가지며, 이는
;<math>\langle \gamma^\mu\psi|\chi\rangle = \pm\langle\psi|\gammma^\mu\chi\rangle</math>
를 만족시킨다. (여기서 <math>\pm</math>는 <math>n</math>의 값에만 의존한다.)
이제, 어떤 부호 <math>\tau\in\{\pm1\}</math>를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 [[쌍선형 형식]] <Math>\mathsf C</math>가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.
:<math>\mathsf C(\gamma^\mu \psi,\chi) = \pm \mathsf C(\psi,\gamma^\mu\chi)</math>
:<math>\mathsf C(\psi,\chi) = \mathsf C(\chi,\psi)</math> ([[복부호 동순]]이 아님)
이 경우, 만약 <math>\mathsf C</math>가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 <math>\mathsf C</math>가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.
만약 디랙 피너 공간 <math>V</math>가 실수 구조를 갖는다면,
:<math>\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^*</math>
를 만족시키는 디랙 피너를 '''마요라나 스피너'''라고 한다.
만약 디랙 피너 공간 <math>V</math>가 사원수 구조를 갖는다면,
:<math>\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^*</math>
를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(W,\Omega)</math>에 대하여, <math>V\otimes W</math> 위에서,
:<math>\mathsf C(\psi,-) = \langle \Omega\psi,-\rangle</math>
를 만족시키는 디랙 피너를 '''심플렉틱-마요라나 스피너'''라고 한다.
=== 감마 행렬의 실수성 ===
마요라나 스피너장의 경우, [[감마 행렬]]이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, [[감마 행렬]]이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.
| |||