러셀의 역설: 두 판 사이의 차이

모든 집합은 자신을 원소로 포함할 수 없으므로, 러셀의 역설이 가정하는 ‘자신을 원소로 포함하지 않는 집합을 포함하는 집합’은 모든 집합을 포함하는 집합을 의미한다.  그리고 모든 집합을 포함하는 집합은 존재하지 않는다. 여기서, 존재하지 않는다는 것의 의미는 어떠한 논리, 집합론으로 유도해낼 수 없다는 것이고, 수학적인 객체가 아니라는 것이며, 상상의 객체에 지나지 않는 다는 것이다.  물론 이런 상상의 객체는 상상을 통해서 얼마든지 만들어 낼 수 있다.

 

 

<nowiki>칸토어가 세상에 내어 놓은 집합론은 러셀의 역설과 같은 서술이 논리적으로 참인지 거짓인지를 판별할 수 있는 강력한 수학이론이다. 이러한 소박한 집합론에서 아무 원소를 포함하지 않는 공집합을, ψ = { } 로 표시하는데,  이러한 공집합을 표현할 수 있는 서술 방법은 무한히 많다.   예를 들어 { x | x=1 and x≠1 } = ψ, 러셀의 역설에서 가정하는 집합은 수학적 대상은 아니지만, 소박한 집합론에서 공집합의 원소는 될 수 있다. 공집합에 자신을 원소로 포함시키는 과정을 되풀이하면, ψ, {ψ}, {ψ, {ψ}},….  되고, 자연수가 도출된다. 다른 수학이론의 기초가 되고, 함수를 정의할 수 있으면, 또한 무한한 대상들을 다룰 수 있는 유일한 방법을 제공한다.  그래서, 수학자 힐버트는 칸토어의 집합론이 이끄는 세계를 수학자의 낙원이라고 묘사했다.  </nowiki>