조화급수: 두 판 사이의 차이

: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!</math>

역사적으로 조화급수는 건축가들에게 특히 인기있었다인기 있었다. 이러한 경향은 [[바로크]] 시대에 특히 강해서, 건축가들은 교회와 궁전을 건축할 때 평면도 및 입면도상의 비례와 건물 내·외부간의 건축 디테일의 조화를 위해 조화급수를 사였다.<ref>{{서적 인용 |저자=George L. Hersey |제목=Architecture and Geometry in the Age of the Baroque |출판사=University Of Chicago Press |쪽=11-12, 37-51 |날짜=2002-12-1 |ISBN=0226327841}}</ref>

수열 각각의 항은 점차 0 에 가까워지고 있음에도 불구하고, 총합은 무한대로 발산한다. 발산하는 속도는 매우 느려서 <math>\ln n</math>에 가깝다(그래서, [[조화수열]]과 [[자연로그]]의 오차의 극한을 나타내는 상수로 [[오일러-마스케로니 상수]]가 있다). 조화급수는 최초 <math>10^{43}</math>개의 항을 모두 더해도 100 을100을 넘지 않는다. 따라서 이 급수는 수열의 항의 극한값이 0 임에도0임에도 급수의 값은 수렴하지 않는 예로 자주 등장한다.

[[w:Nicole Oresme|니콜 오렘]]의 가장 유명한 발산 증명으로 <math>2^n</math>개씩 항을 묶어 비교하여 작은 쪽 값의 수열의 합이 발산함을 보여서 큰 값의 수열도 발산함을 증명하는 다음과 같은 기법이 있다기법이다.

이보다조화급수보다 값이작은 작은수열이급수가 발산하므로, 조화급수도 발산하게 된다.

이 무한급수는 [[리만 제타 함수에함수]]에 1을 대입했을 때 얻어지는 수열이다. 따라서 리만 제타 함수는 1에서 특이점을 가지게 된다.

부호를 번갈아가며 쓴 교대조화급수(alternating harmonic series)는 수렴한다. 그 수렴 값은 <math>\ln 2</math>이다. 하지만, 교대조화급수의 경우 원래의 조화급수가 발산하므로 [[절대수렴]]하지 않는다. 따라서, 교대조화급수의 경우 항을 재배치하여 원하는 어떤 실수 값이든 만들어낼 수 있으며, 오직 가장 정상적인 자연수 순서대로 더해야 <math>\ln 2</math>로 수렴한다.