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삼중곱: 두 판 사이의 차이

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'''스칼라 삼중곱'''({{llang|en|scalar triple product}})은 두개의 벡터의 [[벡터곱]]을 나머지 벡터와 [[스칼라곱]]한 것으로 정의된다.
:<math> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) </math>
보통 괄호 없이 이를 표기하기도 하는데, 점곱을 먼저 계산하면 [[벡터곱]]이 불가능하기 때문에 [[중의성|중의적]]이지 않기 때문이다.
=== 기하학적 의미 ===
스칼라 삼중곱의 [[절대값]]은 [[기하학]]적으로 스칼라 삼중곱의 3개의 벡터로 정의되는 [[평행육면체]]의 부피로[[부피]]로 정의된다.
:<math>V = \left| \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \right| </math>
 
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\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})
</math>
 
The parentheses may be omitted without causing ambiguity, since the [[dot product]] cannot be evaluated first. If it were, it would leave the cross product of a vector and a scalar, which is not defined.
 
The scalar triple product can also be understood as the [[determinant]] of the 3-by-3 matrix having the three vectors as rows (or columns, since the determinant for a transposed matrix, is the same as the original); this quantity is invariant under coordinate rotation.
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===스칼라 삼중곱과 쐐기곱===
[[그림:Exterior_calc_triple_product.png|thumb|right|[[차원|3차원]] 공간에서의 삼중벡터는[[삼중벡터]]는 방향이 있는 부피요소이다[[부피요소]]이다. 이것의 its[[호지 Hodge쌍대]]로 dual얻어지는 is[[스칼라]]의 a크기는 scalar삼중벡터의 with[[부피]]와 magnitude equal to its volume같다.]]
스칼라 삼중곱은 [[외대수]]에서의 [[쐐기곱]]을 사용해 표현할 수 있다.
The scalar triple product can be viewed in terms of the [[exterior product]].
{{본문|외대수}}
 
먼저, 외대수의 요소들과 쐐기곱에 대해 간단히 알아보자. [[외 미적분학]]에서 두 벡터를 쐐기곱하면 [[이중벡터]]를 얻고, 세 벡터를 쐐기곱하면 [[삼중벡터]]를 얻는다. 간단히 설명하면, 외 미적분학의 이중벡터란, 일종의 방향이 있는 [[평면요소]]이고, 삼중벡터는 일종의 방향이 있는 [[부피요소]]이다. 비슷하게 벡터는 방향이 있는 [[선요소]]이다.
In [[exterior calculus]] the exterior product of two vectors is a [[bivector]], while the exterior product of three vectors is a [[trivector]]. A bivector is an oriented plane element, while a trivector is an oriented volume element, in much the same way that a vector is an oriented line element.
one여기서 can view the trivector삼중벡터 '''a'''&and;'''b'''&and;'''c'''는 as세 the parallelepiped spanned by백터 '''a''', '''b''', and '''c''',로 with정의된 the평행육면체로 bivectors볼 수 있는데 각각의 면은 이중벡터 '''a'''&and;'''b''', '''a'''&and;'''c''' and, '''b'''&and;'''c'''에 forming three of the 6 faces of the parallelepiped해당한다.
 
이를 이용해 스칼라 삼중곱과 쐐기곱의 관계를 표현하면, 임의의 주어진 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''의 스칼라 삼중곱은 삼중벡터의 [[호지 쌍대]]로 얻어지는 스칼라와 같다. (비슷하게, 이중벡터의 삼중곱은 [[벡터곱]]과 같다.).
Given vectors '''a''', '''b''' and '''c''', the triple product is the [[Hodge dual]] of the trivector '''a'''&and;'''b'''&and;'''c''' (in much the same way that the cross product is the Hodge dual of a bivector).
:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = *(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge \mathbf{c})</math>
 
== 벡터 삼중곱 ==
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:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = - \mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) + \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}).</math>
 
위의 첫번째 공식은 흔히 '''삼중곱 전개''' 또는 '''라그랑주 공식''' 또는 '''백캡 규칙'''({{llang|en|back cap rule}})이라고 불린다.
The first formula is known as '''triple product expansion''', or '''[[Lagrange's formula]]'''<ref>[[Joseph Louis Lagrange]] did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see {{cite book|author=Lagrange, J-L|title=Oeuvres|volume=vol 3|chapter=Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires|year=1773}} He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also
[[Lagrange's identity]] and또는 {{cite book|author=Kiyoshi Ito|title= (1987). ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics|year=1987|isbn=0262590204|publisher=''. MIT Press|pages=, p. 1679}}. ISBN 0262590204. 를 보시오.</ref>.
또는 '''백캡 규칙'''({{llang|en|back cap rule}})
<ref>Reitz, Milford, Christy(2006). ''Foundations of Electromagnetic Theory''. Pearson Education, Inc, Benjamin Cummings. p. 5.</ref>
이라고 불린다.
The first formula is known as '''triple product expansion''', or '''[[Lagrange's formula]]'''.
Its right hand member is easier to remember by using the [[mnemonic]] &ldquo;BAC minus CAB&rdquo;, provided you keep in mind which vectors are dotted together.
 
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:<math>\mathbf{a} \cdot \left( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \right)</math>
하지만 위 두 곱은 [[점곱]]이 주는 값이 [[스칼라]]이기 때문에, 괄호를 계산한 뒤에 [[벡터곱]]과 [[점곱]]을 하는것이 불가능하다. 따라서, 위 두 삼중곱은 정의되지 않는다.
== Note주석 ==
<references/>
 
== See같이 also보기 ==
* [[Jacobi야코비 triple product삼중곱]]
 
==References 참고문헌 ==
*{{cite book|last = Lass|first =, Harry|title =(1950). ''Vector and Tensor Analysis|publisher =''. McGraw-Hill Book Company, Inc.|date = 1950|pages =, pp. 23-25}}.
 
[[분류:벡터 미적분학]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/삼중곱"