텐서: 두 판 사이의 차이

수학과 물리학에서, '''텐서'''(tensor)는 [[기저 (선형대수학)|기저]]의 선택과 무관한 [[선형 변환|선형 관계]]를 나타내는 [[기하학]]적 대상이다. 기본적인 예시는 [[스칼라곱]]과 [[벡터곱]], [[선형 변환]]을 나타내는 [[벡터 (물리)|기하학적 벡터]]와 [[스칼라 (물리)|스칼라]]이다. 텐서는 기저를 선택해서 다차원 행렬로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 [[공변 변환|변환 공식]]이 존재한다.

[[벡터 공간]] <math>V</math>와 그 [[쌍대 공간]] <math>V^*</math>에 대해 ''(m, n) ''형의 텐서는 텐서벡터 공간

:<math> T^m_n(V) = \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V}_{m} \otimes \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{n} .</math>

의 원소로원소(즉, 벡터)로 정의된다. 여기에서 <math>''m</math>''을 이 텐서의 반변 계수(contravariant order), <math>''n</math>''을 공변 계수(covariant order)라 하며 <math>''m+n</math>''을 총 계수(total order)라 한다.

\end{bmatrix}.

와 같은 연산이다. 엄밀하게 말하면일반적으로, <math>V</math>와 <math>W</math>가같은 [[체 (수학)|체]] <math>F</math>위의 상의 [[벡터 공간]]일 때, 이 둘의 '''[[텐서곱]]''' <math>V,\ W,\otimes_F V \otimes W</math>는에 <math>F</math> 상의 벡터 공간으로 아래의대해서 [[보편쌍선형 성질]]을 만족하는 [[이중선형사상변환]] <math>\otimesvarphi: V \times WV \rarrto V \otimes_Fotimes W</math>을는 아래의 갖는[[보편 것이다.성질]]을 갖는다:

::<math>f: Q\underbrace{V^*\times (v,w)\dots \times =V^*}_{m} Q'(v\otimes w)times \underbrace{ V\times \forall vdots \intimes V, w}_{n} \in Wto F</math>