텐서: 두 판 사이의 차이
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{{미적분학}}
수학과 물리학에서, '''텐서'''(tensor)는 [[선형 변환|선형 관계]]를 나타내는 [[기하학|기하적]] 대상이다. 기본적인 예는 [[스칼라곱]]과 [[벡터곱]], [[선형 변환]]이 있으며 [[
== 정의 ==
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[[벡터 공간]] <math>V</math>와 그 [[쌍대 공간]] <math>V^*</math>에 대하여 ''(m, n)''형의 텐서는 벡터 공간
:<math>T^m_n(V) = \underbrace{V\otimes \dots \otimes V}_{m} \otimes \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{n}</math>
의 원소(즉, 수학적 의미의 [[벡터 (선형대수학)|벡터]])로 정의된다. 여기에서 [[텐서곱]] <math>\otimes</math>은 [[외적]]의 일반화로 생각하여 대략
:<math>
\begin{bmatrix}
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[[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 벡터 공간 <math>V,\ W,\ V \otimes W</math>에 대하여 [[쌍선형 변환]] <math>\varphi:V \times W \to V \otimes W</math>는 아래의 [[보편 성질]]을 갖는다:
:임의의 벡터 공간 <math>
이 조건으로 텐서곱 <math>\otimes</math>이 유일하게 정의되며, 따라서 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여 텐서의 벡터 공간은 [[다중선형대수학|다중선형 공간]]과 [[자연 동형]]이다:
:<math>T^m_n(V) \cong L^{m+n}\left(\underbrace{V^*\times \dots \times V^*}_{m} \times \underbrace{ V\times \dots \times V}_{n} \to F \right)</math>
여기에서 <math>V
== 변환 법칙 ==
[[파일:Epsilontensor.svg|thumb|300px|[[유사텐서]]인 [[3차원]] [[레비치비타 기호]]를 다차원 배열로 나타낸 모습. 이는 ''(0, 3)''형의 [[
[[아인슈타인 표기법]]을 사용하면 ''(m, n)''형의 텐서는 기저 {{math|'''f''' {{=}} ('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''k''</sub>)}}를 선택하여
:<math>T^{i_1\dots i_m}_{j_{1}\dots j_{n}}[\mathbf{f}]</math>
와 같이 나타낼 수 있다.
:<math>
T^{i'_1\dots i'_m}_{j'_1\dots j'_n}[\mathbf{f} \cdot R] = \left(R^{-1}\right)^{i'_1}_{i_1} \cdots \left(R^{-1}\right)^{i'_m}_{i_m}
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== 예 ==
벡터 공간 <math>V</math>에 대하여 모든 스칼라와 벡터, 행렬은 텐서이며, 아래와 같이 텐서를 분류할 수 있다. 기저의 선택에 의존하는 [[위치벡터]], [[유사텐서]] 등은 벡터 공간의 단일한 원소가 아니므로 텐서가 아니다. [[물리학]]과 [[공학]] 등에서는 각 점마다 텐서가 하나씩 붙어 있는 공간, 즉 텐서장을 텐서라고 부르기도 한다.
:{| class = "wikitable"
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! scope="row" | 1
| [[벡터 (선형대수학)|벡터]] (예 : [[기하적 대수학|기하적 벡터]])
| [[선형 변환]] (예 : [[행렬]], [[크로네커 델타]])
| [[벡터곱]]
| [[리만 곡률 텐서]]
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