포물선: 두 판 사이의 차이

그러면 [[두 점 사이의 거리|두 점 사이의 거리 공식]]에 의하여 점 <math> (x,y)</math>에서 점 <math> (a,0)</math>, 직선 <math> x=-a</math>에 이르는 거리가 각각 <math> \sqrt{ (x-a)^2 + ( y - a )^2 }</math>, <math>\left\vert yx+a \right\vert</math>이므로

포물선의 정의에 의하여 점 <math> (x,y)</math>의 자취의 방정식은 <math> \sqrt{ (x-a)^2 +( y-a)^2 } =|y \left\vert x+a| \right\vert </math>인데

<math> \sqrt{ (x-a)^2 +( y-a)^2 } =|y \left\vert x+a| \right\vert \Longleftrightarrow (x-a)^2 +( y-a)^2 = (y x+a )^2 </math>, <math> (x-a)^2 +( y-a)^2 = (y x+a )^2 \Longleftrightarrow xy^2=4ay4ax </math>이므로

점 <math> (x,y)</math>의 자취의 방정식은 <math> xy^2=4ay4ax </math>이다. 따라서 초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선의 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> xy^2=4ay4ax </math>이다.

"초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> yx^2 = 4ax4ay </math>이다."라는 명제도 위의 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

또 이를 통해 [[이차 함수|이차함수]]의 그래프는 준선이 x축에x 또는 y축에 평행한 포물선을 그린다는 것을 알 수 있다.