해밀턴 역학: 두 판 사이의 차이
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:<math>{\partial H \over \partial t} = - {\partial L \over \partial t}</math>
이 식도 해밀토니안의 전미분에서 얻어지지만, 운동과 직접적인 관련이 없는 식이기 때문에 보통 해밀턴 방정식에 포함시키지 않는다.
== 해밀턴의 원리로부터 해밀턴 방정식의 유도 ==
해밀턴 방정식은 [[해밀턴의 원리]]로부터 얻을수도 있다. 먼저 해밀턴의 원리에서의 [[작용_(물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt </math>
여기서, [[라그랑지안]] <math>L</math>에 [[해밀토니안]] <math>H</math>의 [[르장드르 변환]] <math>\textstyle L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H</math>를 대입하면 다음과 같은 [[작용_(물리학)|작용]]을 얻는다.
:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i p_i dq_i - H dt \right] </math>
이 작용에 변분을 취하면
:<math>\delta S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left( \delta p_i \dot{q}_i + p_i \delta \dot{q}_i - {\partial H \over \partial p_i } \delta p_i - {\partial H \over \partial q_i } \delta q_i dt \right) \right] dt </math>
이 된다. 여기서 두번째 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>p_i \delta \dot{q}_i = {d \over dt} p_i \delta q_i - \dot{p}_i \delta q_i</math>
따라서 이를 대입하고 각 좌표의 변분을 묶어주면 작용의 변분은 다음과 같이 된다.
:<math>\delta S[\mathbf{q}(t)] = \left. p_i \delta q_i \right|_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left\{ \left( \dot{q}_i - {\partial H \over \partial p_i } \right) \delta p_i - \left(\dot{p}_i + {\partial H \over \partial q_i } \right) \delta q_i \right\} \right] dt </math>
여기서, 첫번째 항은 위치의 변분은 양 끝에서 0이다는 조건에 의해 0이 되고 나머지 뒤 항에선 작용의 변분이 0이 되어야 하므로, 위치와 운동량의 변분의 계수가 0이 되어야 함을 알 수 있다. 여기에서 해밀턴 방정식을 얻을 수 있다.
:<math>\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i = - {\partial H \over \partial q_i}</math>
== 참고문헌 ==
* 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 271-3, 274-6쪽.
[[분류:고전역학]]
[[분류:해밀턴 역학| ]]
[[ar:ميكانيك هاملتوني]]
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