2018년 9월 13일 (목) 06:02 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글 통 → 톰 (발음 교정에 따른 프랑스어 표기 교정) ← 이전 편집		2018년 9월 13일 (목) 07:09 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[대수적 위상수학]]에서, '''톰 공간'''(Thom空間, {{llang\|en\|Thom space}})은 실수 [[벡터 다발]]에 하나의 ~~"무한대"~~“무한대” 점을 추가하여 얻는 [[위상 공간 (수학)\|위상 공간]]이다. 이를 사용하여 [[미분위상수학]]의 일부 대상들을 [[호모토피 이론]]의 기법으로 다룰 수 있다. == 정의 == 다음이 주어졌다고 하자. [[파라콤팩트 공간]] <math>B</math> 위의 <math>n</math>차원 실수 [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 올의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]를 취하여, [[초구]] <math>\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}</math>를 올로 하는 [[올다발]] <math>\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow B</math>을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 '''톰 공간''' <math>\operatorname{Thom}(E)</math>이라고 한다. * [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math> ~~:<math>\operatorname{Thom}(E)=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(b,\infty_b)\colon b\in B\}}</math>~~ * <math>n</math>차원 실수 [[벡터 다발]] <math>\mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X</math> ~~만약 <math>B</math>가 [[콤팩트 공간]]이라면 톰 공간 <math>\operatorname{Thom}(E)</math>는 <math>E</math>의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]와 같다.~~ 그렇다면, 각 올의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]를 취하여, [[초구]] <math>\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}</math>를 올로 하는 [[올다발]] <math>\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X</math>을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 '''톰 공간''' <math>\operatorname{Thom}(E)</math>이라고 한다. :<math>\operatorname{Thom}(E)=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}</math> === 내적을 통한 정의 === <math>E</math> 위에, 올별 임의의 연속 [[양의 정부호]] 내적 :<math>\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^)</math> 을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 올 <math>E_x</math>의 닫힌 공 :<math>\operatorname{Ball}(\pi) = \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}</math> 및 초구 :<math>\operatorname{Sph}(\pi) = \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}</math> 을 정의할 수 있다. 이 둘은 <math>X</math> 위의 [[올다발]]을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다. :<math>\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E</math> '''톰 공간'''은 다음과 같은 [[몫공간]]이다. :<math>\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}</math> 이는 자연스럽게 [[점을 가진 공간]]을 이루며, 그 밑점은 <math>\operatorname{Sph}(\pi)</math>의 [[동치류]]이다. == 성질 == === 연산에 대한 호환 === 두 [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 위의 두 유한 차원 [[벡터 다발]] :<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math> :<math>\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y</math> 의, [[곱공간]] <math>X\times Y</math> 위로의, 사영 사상 :<math>\operatorname{proj}_X\colon X\times Y\twoheadrightarrow X</math> :<math>\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y</math> 을 통한 [[당김]] :<math>\operatorname{proj}_X^\pi\colon \operatorname{proj}_X^* E \twoheadrightarrow X\times Y</math> :<math>\operatorname{proj}_X^\varpi\colon \operatorname{proj}_X^ F \twoheadrightarrow X\times Y</math> 의 [[직합]] :<math>\pi\boxtimes\varpi \colon \operatorname{proj}_X^* E \oplus \operatorname{proj}_X^* F \twoheadrightarrow X\times Y</math> 의 톰 공간은 <math>\pi</math>와 <math>\varpi</math>의 톰 공간들의 [[분쇄곱]]과 [[위상 동형]]이다. :<math>\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi) = \operatorname{Th}(\pi)\wedge \operatorname{Th}(\varpi)</math> 특히, 만약 <math>\varpi</math>가 [[한원소 공간]] 위의 (자명한) [[벡터 다발]]이라고 하자. :<math>Y = \{\bullet\}</math> :<math>F = Y \times\mathbb R^n</math> 그렇다면, <math>\varpi</math>의 톰 공간은 [[초구]] :<math>\operatorname{Th}(\varpi) = \mathbb S^n</math> 이므로, 다음을 얻는다. :<math>\operatorname{Th}(E \oplus \mathbb R^n) = \operatorname{Th}(E) \wedge \mathbb S^n = \operatorname\Sigma^n(\operatorname{Th}(E))</math> 여기서 <math>\operatorname\Sigma^n</math>은 [[축소 현수]]를 <math>n</math>번 취한 것이다. === 함자성 === 두 파라콤팩트 공간 사이의 [[연속 함수]] :<math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>Y</math> 위의 [[벡터 다발]] :<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow Y</math> 이 주어졌을 때, 다발의 [[당김]] :<math>f^\pi\colon f^E \twoheadrightarrow X</math> 의 톰 공간 :<math>\operatorname{Th}(f^\pi)</math> 을 생각할 수 있다. 이 경우, 자연스러운, 밑점을 보존하는 [[연속 함수]] :<math>\operatorname{Th}(f) \colon \operatorname{Th}(f^\pi) \to \operatorname{Th}(\pi)</math> :<math>\operatorname{Th}(f) \colon(x,E_{f(x)}) \mapsto (f(x),E_{f(x)})</math> :<math>\operatorname{Th}(f) \colon\infty \mapsto \infty</math> 가 존재한다. 즉, 이는 함자 :<math>\operatorname{ParacompTop} \to \operatorname{Top}_\bullet</math> 를 정의한다. === 호몰로지 === 초구 다발 <math>\operatorname{Sph}E</math>의 무한대 단면을 <math>s_\infty\colon B\to\operatorname{Sph}E</math>, 영단면을 <math>s_0\colon\colon B\to E\subsetneq\operatorname{Sph}E</math>라고 적자. 줄 27 ⟶ 83: 만약 <math>E\twoheadrightarrow B</math>가 [[방향 (다양체)\|유향 벡터 다발]]이라면, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math> 계수에 대하여 존재한다. :<math>\Phi\smile\pi^(-)\colon\operatorname H^k(B;R)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);R)</math> == 예 == === 자명한 벡터 다발 === [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math> 위의 자명한 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon X\times\mathbb R^n</math>의 톰 공간을 생각하자. 이 경우 :<math>\operatorname{Ball}(\pi) = X\times \mathbb B^n</math> :<math>\operatorname{Sph}(\pi) = X\times \mathbb S^{n-1}</math> 이며, :<math>\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})</math> 이다. 여기서 <math>\bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n</math>은 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>에 부여한 임의의 [[점을 가진 공간\|밑점]]으로, 공의 경계에 해당한다. 만약 <math>X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}</math>가 <math>X</math>에 분리된 밑점을 추가한 [[점을 가진 공간]]이라면, 이는 :<math>\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n</math> 가 된다. 여기서 <math>\cong</math>은 [[위상 동형]]이며, <Math>\wedge</math>는 [[점을 가진 공간]]의 [[쐐기곱]]이다. 특히, 만약 <math>n = 0</math>일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은 :<math>\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+</math> 이다. === 콤팩트 공간 위의 벡터 다발 === [[콤팩트 공간]] <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>의 톰 공간 :<math>\operatorname{Th}(\pi)</math> 은 <math>E</math>의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]와 [[위상 동형]]이다. :<math>\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+</math> === 톰 스펙트럼 === [[분류 공간]] :<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)</math> 위의 [[연관 벡터 다발]] :<math>\mathbb R^n \hookrightarrow (\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)</math> 의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자. :<math>\operatorname{MO}(n) = \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)</math> [[리 군]]의 포함 관계 :<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname O(n+1)</math> 로부터 유도되는 [[분류 공간]]의 포함 관계 :<math>g_n\colon \operatorname{BO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BO}(n+1)</math> 로부터, [[벡터 다발]]의 [[당김]] :<math>g_n^ (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n) </math> 을 정의할 수 있다. 이 경우, :<math>g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n) = \operatorname{EO}(n) \oplus (\operatorname{BO}(n) \times\mathbb R)</math> 은 자명한 1차원 벡터 다발을 [[직합]]으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 [[축소 현수]]를 이룬다. :<math>\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n)\right) = \Sigma \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n) = \Sigma\operatorname{MO}(n) </math> 즉, 이는 사상 :<math>\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)</math> 을 정의한다. 이 사상들은 [[스펙트럼 (위상수학)\|스펙트럼]] :<math>\operatorname{MO}</math> 을 정의하는데, 이를 '''톰 스펙트럼'''({{llang\|en\|Thom spectrum}})이라고 한다. == 역사 == 줄 36 ⟶ 142: == 외부 링크 == * {{eom\|title=Thom space}} * {{nlab\|id=Thom space}} * {{nlab\|id=Thom spectrum}} * {{웹 인용\|url=https://www.konradvoelkel.com/2012/06/thom-spaces/ \| 제목=Thom spaces \| 이름=Konrad\|성=Thom \| 날짜=2012-06-13\|언어=en}} * {{웹 인용\|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/11/the-thom-isomorphism-theorem/\|제목=The Thom isomorphism theorem\|날짜=2010-12-11\|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki\|이름=Akhil\|성=Mathew\|언어=en}} * {{웹 인용\|url=http://mathoverflow.net/questions/7375/explanation-for-the-thom-pontryagin-construction-and-its-generalisations\|제목=Explanation for the Thom-Pontryagin construction (and its generalisations)\|출판사=Math Overflow\|언어=en}}

톰 공간: 두 판 사이의 차이