다항식환: 두 판 사이의 차이
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대학과정에서 다항식환만 알면 충분하나 대칭대수는 몰라도 되는 분야도 많음 |
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[[대수학]]에서, '''다항식환'''(多項式環, {{lang|en|polynomial ring}})은 어떤 주어진 [[체 (수학)|체]]나 [[환 (수학)|환]]의 원소를 계수로 하는 다항식, 즉
:<math>p = p_0 + p_1x + \cdots + p_nx^n</math>
(<math>x</math>는 형식적 기호)꼴의 식들이 상식과 일치하는 덧셈과 곱셈에 의해 이루는 [[환 (수학)|환]]이다.
== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 '''다항식환''' <math>K[x]</math>는,
:<math>|\{i \in \N : p_i \ne 0\}| < \infty</math>
즉
:<math>\exists n,\ \forall i > n,\ p_i = 0</math>
인
:<math>p = (p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots) \in K^{\N}</math>
('''다항식''')들의 집합 <math>K[x]</math>와
:<math>p + q = (p_0 + q_0,\ p_1 + q_1,\ \ldots)</math>
:<math>pq = (p_0q_0,\ p_0q_1 + p_1q_0,\ \ldots)</math>
로 정의된 두 [[이항연산]] <math>+, \cdot</math>으로 이루어진 환이다. 각 다항식들은
:<math>p = \sum_{n=0}^{\infty} p_nx^n</math>
으로 나타내며, 이때 덧셈과 곱셈은
:<math>p + q = \sum_{n=0}^{\infty}(p_n + q_n)x^n</math>
:<math>pq = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n p_kq_{n-k}x^n</math>
로 표현된다. 0이 아닌 임의의 다항식 <math>p</math>에 대해, 유일하게
:<math>p_n \ne 0 = p_{n+1} = p_{n+2} = \cdots</math>
인 <math>n</math>을 다항식 <math>p</math>의 '''차수'''라고 하고, <math>\deg p</math>로 표기한다. 즉
:<math>\deg p = \max\{i : p_i \ne 0\}</math>
임의의 환 <math>K</math> 위의 다항식환 <math>K[x]</math>도 똑같이 정의된다.
== 성질 ==
다항식환은 환으로서 만족해야할 모든 성질들을 갖춘다. 체 위의 다항식환 <math>K[x]</math>는 다음을 추가적으로 만족한다.
* 곱셈의 [[교환법칙]]. 따라서 <math>K[x]</math>는 [[가환환]]이다.
* [[소거법칙]]. 따라서 <math>K[x]</math>는 [[정역]]이다.
== 대수 ==
체 <math>K</math>에 대하여, <math>K[x]</math>에 다음과 같은 [[스칼라배]] 연산을 정의할 수 있다.
:<math>kp = \sum_{n=0}^{\infty} kp_nx^n\ (k \in K,\ p \in K[x])</math>
이는 <math>K</math>와 동형인 <math>K[x]</math> 내의 상수다항식들과의 곱셈과 동등하다.
<math>K[x]</math>는 덧셈, 스칼라배에 의한 [[벡터 공간]]이다. 나아가 <math>K[x]</math>는, 덧셈, 곱셈, 스칼라배 연산에 의한 {{수변|K}}-[[대수 (체론)|대수]]이다. 다항식 대수는 때로 대수 <math>K^{\N}</math>(또는 <math>K^{\infty}</math>)의 <math>1, x, x^2,\ldots</math>에 의해 [[선형생성|생성]]된 부분대수로 정의된다.
가환환 <math>R</math> 위의 <math>R[x]</math>에도, 비슷한 ([[가군]]) 연산에 의한 {{수학|R}}-[[대수 (환론)|대수]] 구조가 존재한다. <math>R</math>이 비가환환이라면, <math>R[x]</math>에는 연산
:<math>rp = \sum_{n=0}^{\infty} rp_nx^n,\ pr= \sum_{n=0}^{\infty} p_nrx^n\ (r \in R,\ p \in R[x])</math>
에 의하여 좌·우 {{수학|R}}-가군 구조가 형성된다.
== 생성환과의 관계 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여,
* 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이다.
체 <math>K</math>에 대한 다항식환은 [[유클리드 정역]]이다.
== 다변수 다항식환 ==
<math>K[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>은 <math>K[x_1][x_2]\cdots[x_n]</math>과 같다.
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Hoffman|이름=Kenneth|날짜=1971년 4월 1일|제목=Linear Algebra|언어=en|판=2|출판사=Prentice Hall|쪽=|isbn=0-13-536797-2}}
== 바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=PolynomialRing|title=Polynomial ring}}
== 같이 보기 ==
* [[비가환 다항식환]]
[[분류:환론]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수]]
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