소수 (수론): 두 판 사이의 차이
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[[File:Primes-vs-composites.svg|thumb|right|좌측은 소수, 우측은 [[합성수]]. 소수란 자신보다 작은 두 자연수를 곱하여 만들 수 없는 1보다 큰 자연수이다.]]
'''소수'''(素數, 발음: [소쑤], {{문화어|씨수}}, {{llang|en|prime number}})는 자신보다 작은 두 개의 자연수를 곱하여 만들 수 없는, 1보다 큰 자연수이다. 예를 들어, 5는 1x5 또는 5x1로 수를 곱한 결과를 적는 유일한 방법이 그 수 자신을 포함하기 때문에 5는 소수이다. 그러나 6은 자신보다 작은 두 숫자(2×3)의 곱이므로 소수가 아니다. 1과 그 수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는 자연수로 정의하기도 한다. [[정수론]]에서 매우 중요한 역할을 담당한다. 현재에 와서는 암호 분야에서의 사용으로 그 중요성이 부각되고 있다.▼
▲'''소수'''(素數, 발음: [소쑤], {{문화어|씨수}}, {{llang|en|prime number}})는 자신보다 작은 두 개의
[[산술의 기본 정리]]의 '1보다 큰 모든 자연수는 그 자체가 소수이거나, 순서를 무시하고 유일한 소인수의 조합을 갖는다'는 내용을 바탕으로 [[정수론]]에서는 매우 중요한 주제로 다루어진다. 또한 현대에는 암호 분야에서의 기술적 사용으로 그 중요성이 부각되고 있다.
소수의 개수는 무한하며, 이는 [[유클리드의 정리]]에 의하여 최초로 논증되었다. 소수와 합성수를 구분해낼 수 있는 명확한 공식은 지금까지도 밝혀지지 않은 상태이나, 대역적으로 자연수 중 소수의 비율의 근사치를 예측하는 모델로는 여러가지가 알려져 있다. 이러한 방향으로의 연구의 첫 결과는 19세기 말에 증명된 [[소수 정리]]인데, 이는 무작위로 선택된 한 수가 소수일 확률은 그 수의 자릿수, 곧 로그값에 반비례함을 알려준다.
== 소수 목록 ==
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여기서, 2는 유일한 짝수 소수이다. 1000 이하의 소수는 168개이며, 10000 이하의 소수는 1229개임이 밝혀져 있다.
== 소인수 분해 ==
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이고 23244는 (약수의 순서를 무시하면) 단 한 가지 방법으로 소인수 분해 된다. 이 정리의 중요성은 소수들의 집합에서 1을 제외하는 이유 중의 하나이다. 만일 1이 소수라면 이 정리의 엄밀한 진술을 위해 추가적인 제한조건을 필요로 하기 때문이다.
== 역사 ==▼
소수에 대한 최초의 기록은 [[고대 이집트]] 파피루스에서 찾을 수 있다. 파피루스에는 소수와 합성수를 구분해서 다른 형태로 표기되어 있었다. 그러나 소수에 대한 본격적인 연구는 [[고대 그리스]]에서 본격적으로 시작되었다. 《[[유클리드 원론]]》(기원전 300년경)에는 소수가 무한히 많다는 내용과 [[정수론의 기본 정리]]가 포함되어 있다. 유클리드는 [[메르센 소수]]로부터 [[완전수]]를 만드는 방법도 설명하였다.▼
유클리드 이후 17세기까지 소수에 대한 연구는 별로 없었다. 그러나 페르마는 1640년에 [[페르마의 소정리]]를 증명없이 발표하였다.▼
== 소수의 개수 ==
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다른 수학자들도 각자의 증명을 내놓았다. 그 중 [[레온하르트 오일러|오일러]]에 의한 증명은 모든 소수들의 역수의 합이 발산한다는 증명으로부터 소수의 개수가 무한함을 보였다.
▲== 역사 ==
▲소수에 대한 최초의 기록은 [[고대 이집트]] 파피루스에서 찾을 수 있다. 파피루스에는 소수와 합성수를 구분해서 다른 형태로 표기되어 있었다. 그러나 소수에 대한 본격적인 연구는 [[고대 그리스]]에서 본격적으로 시작되었다. 《[[유클리드 원론]]》(기원전 300년경)에는 소수가 무한히 많다는 내용과 [[정수론의 기본 정리]]가 포함되어 있다. 유클리드는 [[메르센 소수]]로부터 [[완전수]]를 만드는 방법도 설명하였다.
▲유클리드 이후 17세기까지 소수에 대한 연구는 별로 없었다. 그러나 페르마는 1640년에 [[페르마의 소정리]]를 증명없이 발표하였다.
== 소수 찾기 ==
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* 만약 <math>R</math>이 [[주 아이디얼 정역]]이면, <math>R</math> 위에서 소수와 기약수는 동치이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로 정수환 위에서 소수와 기약수는 같다.
* 만약 <math>R</math>이 [[체 (수학)|체]]이면, <math>R</math>에 의해 유도된 다항식환 <math>R[x]</math>은 주 아이디얼 정역이므로, 윗 명제에 의해 <math>R[x]</math> 위에서 소수와 기약수는 동치이다.
== 가장 큰 소수 ==
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