아핀 리 대수: 두 판 사이의 차이
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[[리 대수]] 이론에서, '''아핀 리 대수'''(affine Lie代數, {{llang|en|affine Lie algebra}})는 유한 차원 단순 [[리 대수]] 계수를 가진 [[로랑 급수|로랑 다항식]] 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 [[리 대수]]다.<ref name="Kac">{{서적 인용|이름=Victor G.|성= Kac|저자링크=빅토르 카츠|title=Infinite dimensional Lie algebras |판=3|publisher=Cambridge University Press|날짜= 1990|isbn=978-0-521-37215-2|doi=10.1017/CBO9780511626234|zbl=0716.17022|mr=1104219 |언어=en}}</ref><ref name="Fuchs">{{서적 인용|제목=Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory|이름=Jürgen A.|성=Fuchs
|출판사=Cambridge University Press | 총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics | 날짜=1995-03 | isbn=978-052148412-1
|url=http://www.cambridge.org/vn/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/affine-lie-algebras-and-quantum-groups-introduction-applications-conformal-field-theory|zbl=0952.17016 | mr = 1337497 | 언어=en}}</ref><ref name="Frenkel">{{서적 인용|장=Beyond affine Lie algebras | 이름=I. B.|성=Frenkel | 제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986. Volume Ⅰ | 장url=https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1986.1/ICM1986.1.ocr.pdf#page=923 | 날짜=1987 | 쪽=821–839 | 언어=en}}</ref> [[물리학]]의 [[등각 장론]]에서 중요한 역할을 한다. [[카츠-무디 대수]]의 특별한 경우다.
== 정의 ==
43번째 줄:
:<math>\{\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_n^\vee\}</math>
이다.
== 성질 ==
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.
=== 근계의 구조 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 기본 단순 리 대수가 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>라고 하자. <math>r</math>가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 [[자기 동형]]의 차수라고 하자. 예를 들어, <math>\tilde D_4^{(3)}</math>의 경우, <math>r=3</math>이다. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 실근들의 집합 <math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)</math>는 구체적으로 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|83, Proposition 6.3a,b,c}}
:<math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=\begin{cases}
\stackrel\circ\Delta+\mathbb Z\delta&r=1\\
(\stackrel\circ\Delta_\text{short}+\mathbb Z\delta)\cup(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+r\mathbb Z\delta)&r\in\{2,3\},\;\mathfrak g\not\cong A_{2n}^{(2)}\\
\frac12\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+(2\mathbb Z-1)\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short}}+\mathbb Z\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+2\mathbb Z\delta\right)
&\mathfrak g\cong A_{2n}^{(2)}
\end{cases}</math>
<math>\mathfrak g</math>의 허근들의 집합 <math>\Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)</math>는 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|64, Theorem 5.6b}}
:<math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=(\mathbb Z\setminus\{0\})\delta</math>
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, <math>\delta</math>는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|64, Theorem 5.6b}}
:<math>\Delta^{\text{re},+}(\mathfrak g)=\mathbb Z^+\delta</math>
=== 바일 군 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[바일 군]] <math>W</math>은 아핀 [[콕서터 군]]이며, 그 기본 단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 바일 군 <math>\stackrel\circ W</math>로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="Kac"/>{{rp|88, Proposition 6.5}}
:<math>W=\stackrel\circ\rtimes M</math>
여기서
:<math>M=\begin{cases}\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta&r=1\\
\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r\in\{2,3\}
\end{cases}</math>
는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math> 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 <math>\circ{\mathfrak h}\cong\circ{\mathfrak h}^*</math>를 암묵적으로 사용하였다.
== 구성 ==
=== 대수적 구성 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[복소수체]] 위의 유한 차원 [[이차 리 대수]] <math>(\mathfrak g^{\mathbb C},\langle |\rangle \colon\stackrel\circ{\mathfrak g}\otimes_K\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}\to\mathbb C)</math>. (만약 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>가 [[반단순 리 대수]]라면, 이는 [[킬링 형식]]으로 잡을 수 있다. 만약 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>가 [[아벨 리 대수]]라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)
그렇다면, '''아핀 리 대수''' <math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>는 <math>K</math>-[[벡터 공간]]으로서 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathfrak g}=\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]\oplus \mathbb C\mathsf k</math>.
즉, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>의 계수를 가진 [[로랑 급수|로랑 다항식]] <math>\mathfrak g^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>에 [[중심 확대]] <math>\mathsf k</math>를 더한 것이다. 물리학적으로 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>는 대칭의 보존류들을 나타내고, <math>\mathsf k</math>는 대칭의 [[변칙 (물리학)|변칙]]을 나타낸다.
<math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math> 위에는 다음과 같은 [[리 대수|리 괄호]]를 정의한다. <math>a,b\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>라고 하면,
:<math>[\mathsf az^m,b\mathsf z^n]=[a,b]\mathsf z^{m+n}+\delta_{m+n,0}m\langle a|b\rangle\mathsf k</math>
:<math>[\mathsf k,a\mathsf z^n]=[\mathsf k,\mathsf k]=0</math>
<math>\mathsf k</math>는 중심 원소이므로, 리 대수의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb C\mathsf k \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C} \otimes \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \to 0</math>
이 존재한다.
=== 실수 형태 ===
<math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>가 실수 [[이차 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}</math>의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>는 [[실수 리 대수]]로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.
:<math>\mathsf z \mapsto \mathsf z^{-1}</math>
:<math>\mathrm i \mapsto -\mathrm i</math>
:<math>\mathsf k \mapsto \mathsf k</math>
:<math>x \mapsto x \qquad\forall x\in \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}</math>
즉, 이는 두 [[복소수 벡터 공간]] 사이의 반선형({{llang|en|antilinear}}) 사상이다. 이 반선형 사상의 [[고정점]]
:<math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb R} = \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R}\mathbb R[z+z^{-1},\mathrm i(z-z^{-1})] + \mathbb R\mathsf k</math>
은 [[실수 리 대수]]를 이룬다.
=== 미분 연산의 추가 ===
[[복소수 벡터 공간]]
:<math>\tilde{\mathfrak g}^{\mathbb C} = \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \oplus \mathbb C\mathsf d</math>
위에 다음과 같은 [[리 대수|리 괄호]]를 정의할 수 있다. <math></math>라고 하면,
:<math>[\mathsf d,az^m]=-\mathrm ima\mathsf z^m \qquad \forall a\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>
:<math>[\mathsf d,\mathsf d]=0</math>
즉,
:<math>[\mathsf d,-] = -\mathrm i\mathsf z \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf z}</math>
이다. 만약 형식적으로 <math>\mathsf z = \exp(\mathrm i\mathsf t)</math>로 놓는다면,
:<math>[\mathsf d,-] = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf t}</math>
가 된다.
<math>\mathsf d</math>가 중심 원소이므로, 이는 [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb C\mathsf d \to \tilde{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to 0</math>
을 이룬다.
또한,
:<math>[\mathsf d,a(z+z^{-1})] = - a\mathrm i(z - \mathsf z^{-1})</math>
:<math>[\mathsf d,\mathrm ia(z-z^{-1})] = a(z + \mathsf z^{-1})</math>
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 <math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb R}</math>에도 잘 정의된다. 즉, [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb C\mathsf d \to \tilde{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to 0</math>
:<math>0 \to \mathbb R\mathsf d \to \tilde{\mathfrak g}^{\mathbb R} \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb R} \to 0</math>
이 존재한다.
=== 뒤틀린 아핀 리 대수 ===
<math>\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>를 원 위의 [[푸리에 급수]]로 해석할 수 있다. 즉, <math>z=\exp(\mathrm i\mathsf t)</math>로 놓으면, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>를 주기적 함수 <math>\mathbb S^1\to\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>로 해석할 수 있다. 즉, <math>a(0)=a(2\pi)</math>의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.
만약 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 자명하지 않은 [[자기 동형]] <math>\sigma\in\operatorname{Aut}(\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
:<math>\sigma a(0)=a(2\pi)</math>.
이와 같은 경우를 '''뒤틀린 아핀 리 대수'''({{lang|en|twisted affine Lie algebra}})라고 한다. 마찬가지로 '''뒤틀린 카츠-무디 대수'''({{lang|en|twisted Kač–Moody algebra}})를 정의할 수 있다.
=== 아핀 리 대수의 기하학적 정의 ===
아핀 리 대수는 기하학적으로 [[리 대수]] 값의 [[주기 함수]]를 통해 구성될 수 있다.<ref name="Frenkel"
구체적으로, [[킬링 형식]]이 [[음의 정부호]]인 실수 [[단순 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[실수 프레셰 공간]]
:<math>\mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>
을 정의할 수 있다. 이는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>값의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[주기 함수]]로 구성된다. 그 위의 [[실수 벡터 공간]] 구조는 점별 덧셈이며, 점별 [[리 괄호]]를 부여하면 이는 [[리 대수]]를 이룬다. 그 복소화는 ([[푸리에 급수]]로서) 다음과 같은 부분 [[벡터 공간]]을 갖는다.
:<math>\iota\colon \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \subseteq \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb C</math>
:<math>\iota(\mathsf z^n \otimes x)\colon t \mapsto \exp(\mathrm
:<math>\iota_{\mathbb R} \colon \mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>
이다.
고리 리 대수 <math>\mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[리 대수 코호몰로지]]에서, 다음과 같은 2차 [[공사슬]]이 존재한다.
:<math>\alpha \colon \mathrm L\
:<math>\alpha\colon (x
여기서
* <math>\langle-|-\rangle</math>은 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math> 위의 어떤 임의의 [[불변 다항식|불변]] [[비퇴화 이차 형식]]이다. (이는 [[킬링 형식]]의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 [[쌍대 공간]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^*</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]으로도 여길 수 있다.
* <math>\delta^2</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[근계]]의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 <math>\langle-|-\rangle</math>에 따른 것이다.
* <math>\mathbb S^1</math>의 [[측도]] <math>\mathrm dt</math>에 따르면, <math>\textstyle\int_{\mathbb S^1}\mathrm dt = 2\pi</math>이다.
이 2차 [[공사슬]]은 [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb R \to \
을 정의한다. 이 경우, <math>\mathfrak g</math>에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 <math>\
:<math>
\begin{matrix}
0 & \to & \mathbb R & \to & \
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & \mathbb R& \to & \
\end{matrix}</math>
줄 78 ⟶ 160:
실수 계수 아핀 리 대수의 [[프레셰 공간]] 완비화는 어떤 [[프레셰 다양체]]인 리 군의 [[리 대수]]이다.<ref name="Frenkel"/>{{rp|825, §4.1}}
구체적으로, [[단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단순 리 군]] <math>\stackrel\circ G</math>와 그 [[실수 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[고리군]]을 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm
즉, 이는 <math>\stackrel\circ G</math>값의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[주기 함수]]의 공간이다. 이는 [[프레셰 다양체]]를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 [[위상군]]을 이룬다.
아핀 리 대수는 <math>\mathbb R[
:<math>1\to \operatorname U(1) \to \hat G \to \mathrm
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 [[U(1)]] [[주다발]]을 이룬다.
구체적으로, 원판 <math>\mathbb D^2</math>를 생각하자. 이제,
:<math>\mathrm
:<math>G_{\mathbb D^2} = \mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G)</math>
:<math>\mathcal G = \{\alpha\in G_{\mathbb D^2} \colon \alpha \restriction \partial\mathbb D^2 =
이다. 여기서 <math>\mathcal G</math>는 일종의 [[게이지 변환군]]으로 여길 수 있다. 이제, <math>G_{\mathbb D^2}</math> 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>\gamma \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb R</math>
:<math>\gamma (g,h) = \frac1{4\pi\delta^2}\int_{\mathbb D^2} \langle g^{-1}\mathrm dg|h^{-1}\mathrm dh\rangle</math>
여기서
* <math>\langle-|-\rangle</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math> 위의 [[불변 다항식|불변]] [[비퇴화 이차 형식]]이며, (예를 들어) [[딸림표현]]에서의 [[대각합]] <math>\langle x,y\rangle = \operatorname{tr}(xy)</math>으로 여길 수 있다.
* <math>\delta^2</math>는 <math>\langle-|-\rangle</math>에 따른, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[근계]]의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.
그렇다면,
:<math>\exp(\mathrm il\gamma(-,-)) \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb C\qquad(l\in\mathbb Z)</math>
줄 109 ⟶ 191:
\right)\right)</math>
를 정의할 수 있다. 여기서
:<math>\bar\alpha \colon \mathbb D^3 \to\stackrel\circ G </math>
:<math>(\bar\alpha \restriction \partial\mathbb D^3) = \alpha</math>
는 <math>\alpha\colon \mathbb S^2 \to\stackrel\circ G</math>의, 3차원 공 <math>\mathbb D^3</math>으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 <math>\bar\alpha</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 [[베스-추미노-위튼 모형]]의 [[작용 (물리학)|작용]]의 항에 해당한다.
이 사상은 [[단사 함수]]이자 [[군 준동형]]이며, <math>\iota_l(\mathcal G)</math>는 <math>\hat G_{\mathbb D^2}</math>의 [[정규 부분군]]이다. 따라서, [[몫군]]
줄 118 ⟶ 200:
:<math>1 \to \operatorname U(1) \to \hat G_l \to \mathrm LG \to 1</math>
을 구성한다. (정수 <math>l \in \mathbb Z</math>은 <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, <math>\hat G_l</math>의 [[리 대수]]는 (<math>l\ne 0</math>일 경우, <math>l</math>의 값에 상관없이) <math>\hat{\mathfrak g}</math>이다.
== 분류 ==
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