곱셈: 두 판 사이의 차이
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와 같다(오른쪽 첫째 그림).
곱셈의 요인이 되는 수들을 '''[[인수]]'''(因數, factor), 그 결과의 값이 되는 수를 '''[[곱]]'''(product)이라고 한다.
곱셈은 [[정수]], 더 나아가 [[유리수]], [[실수]], [[복소수]]들에게도 유효하며, [[교환법칙]], [[결합법칙]], 덧셈에 대한 [[분배법칙]]을 만족한다. 어떤 수에 1을 곱하면 자기 자신 그대로이며, 0을 곱한 결과는 0이다. 곱셈의 역연산은 [[나눗셈]]이다. 예를 들어, 3에 4를 곱하면 12이므로, 12를 3으로 나누면 4다. 같은 수를 여러번 곱한 연산을 [[거듭제곱]]이라고 한다. 곱셈은 더 일반적인 대상, 이를테면 [[행렬]], [[함수]] 등에게도 정의된다. 더 일반적인 [[대수 구조]]에서도 정의 가능하다. 예를 들어 [[군 (수학)|군]]의 연산은 많은 경우 곱셈으로 불린다.
곱셈에게는 직사각형의 넓이(오른쪽 둘째 그림), 확대와 축소(오른쪽 셋째 그림) 등의 의미도 부여된다.▼
▲곱셈에게는 직사각형의 넓이(오른쪽 둘째 그림), 확대와 축소(오른쪽 셋째 그림) 등의 의미도 부여된다.
== 일반적인 정의 ==
(0이 아닌) 자연수 ''a'' (피승수)와 ''b'' (승수)에 대하여, 다음과 같이 a를 총 b번 더한다고 하자.
:<math>\underbrace{b + \cdots + b}_a</math>
이를 a와 b를 '''곱한다'''고 하고, 그 결과인 <math>a\times b</math>를 a와 b의 '''[[곱]]''' 또는 '''적'''(積, {{llang|en|product}})이라고 한다. 또한 여기서 반복해서 더해진 수 a를 '''피승수'''(被乘數, {{llang|en|multiplicand}})라 하고, 그 더한 횟수를 나타낸 수 b를 '''승수'''(乘數, {{llang|en|multiplier}})라 한다. 또한 이 두 수를 통틀어 '''인수'''(因數, {{llang|en|factor}})라 하며, 둘 중 어느 것이 피승수이며 승수인지는 문맥에 따라 다르나 [[교환법칙]]이 성립하는 한 순서에 상관없이 같은 값을 낸다.
===
예컨대 a와 b의 곱은 a×b, a·b, ab 등으로 다양하게 표기되는데, 이는 흔히 a '''곱하기''' b라고 읽는다. 이 중 [[곱셈 기호]] '×'를 사용한 [[중위 표기법|중치 표기법]]가 가장 일반적인 표기 중 하나이다.
▲* 때론 점연산 기호 '⋅'가 곱셈 기호를 대신한다. [[마침표]]를 [[소수점]]으로 하는 곳([[대한민국]], [[미국]], [[영국]] 등)에서 이는 일반적인 사용법이다. [[쉼표 (문장 부호)|쉼표]]를 소수점으로 하는 [[독일]], [[프랑스]] 등에서는 점연산 기호 '⋅' 또는 마침표 '.'가 곱셈을 표기하는 데 쓰인다. 5 곱하기 2의 예를 들면:
▲*: <math>5 \cdot 2</math> 또는 <math>5\, . \,2</math>
▲* [[대수학]]에서 인수가 문자로 표기될 때, 또는 인수가 괄호에 감싸진 경우, 곱셈 기호를 생략할 수 있다. 예:
▲*:<math>7x</math> (7 곱하기 ''x''. 이때 7과 같은 수를 [[계수]]라고 한다)
▲*:<math>ab</math> (''a'' 곱하기 ''b'')
▲*:<math>2(1 + 6)</math> (2 곱하기 (1 + 6))
▲* 곱셈 기호를 생략하면 혼동이 생기는 경우도 있다. [[십진법]]으로 표기한 52는 {{개행 금지|5 x 2}}로 오인될 수 있다.<ref>{{harvnb|Tao|2008|p=447}}</ref> 괄호가 감싼 인수와의 곱셈 ''a''(''b'' + ''c'')는 [[함수]]의 표기법과 혼동된다.
* 셋 이상의 수의 곱셈을 표기할 때, 괄호를 통해 연산 순서를 명시해줄 수 있다. 하지만 [[결합법칙]]이 성립하는 대부분의 경우, 괄호를 생략해도 무방하다. 예:
*:<math>1 \times 2 \times 3</math> (1, 2, 3의 곱)
*:<math>abcde</math> (''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''의 곱)
* [[벡터]] 간의 곱셈에서는 '×' 기호는 [[벡터곱]]을, '⋅' 기호는 [[스칼라곱]]을 뜻한다.▼
* 컴퓨터에서는 보통 [[별표]] '*'를 곱셈에 사용한다. 이러한 관례는 [[포트란]] [[프로그래밍 언어]]에서 시작되었다.▼
== 성질 ==
n과 m이 자연수일 때, n을 m번 더한 것과 m을 n번 더한 것은 같은 수이다. 곧,
*[[교환법칙]]: n × m = m × n
이 성립한다.
또한 여러 번의 곱셈의 결과는 그 곱을 내는 중간 순서에 따라서 달라지지 않는다. 곧,
*[[결합법칙]]: (n × m) × l = n × (m × l)
이 성립한다.
또한 곱과 합 사이에는 다음의 법칙이 성립한다:
*[[분배법칙]]: n × (m + l) = n × m + n × l
* 두 자연수 ''m'', ''n''의 곱셈은 위에서처럼 반복되는 덧셈으로 정의된다.
*:<math>m \times n = \underbrace{m + m + m + \cdots + m}_n = \sum_{i = 1}^{n} m</math>
* [[부호 (수학)|부호]]가 있는 두 수의 곱셈은 부호가 없는 듯이 곱한 뒤 알맞은 부호를 추가해준다. '[[양수 (수학)|양수]] × 양수 = 양수', '양수 × [[음수]] = 음수', '음수 × 음수 = 양수'가 성립한다.
* 두 정수의 곱셈, 예를 들어 {{수학|1=3 × (-5) = -15}}는 부호 있는 수 사이의 곱셈의 예이다. 유리수 또는 실수와는 달리, 모든 두 정수 사이에 어떤 정수 '배수'를 찾을 수는 없다. [[나누어떨어짐]] 문서 참고.
* 복소수의 곱셈은 실수 곱셈으로의 전환을 통해 계산된다. {{수학|1=(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = (''ac'' - ''bd'') + (''ad'' + ''bc'')''i''}}. {{수학|1=(''r<sub>1</sub>e''<sup>''i''θ<sub>1</sub></sup>)(''r<sub>2</sub>e''<sup>''i''θ<sub>2</sub></sup>) = ''r<sub>1</sub>r<sub>2</sub>e''<sup>''i''(θ<sub>1</sub> + θ<sub>2</sub>)</sup>}}. 이는 어떤 면에서 '[[회전 (수학)|회전]]'의 의미를 포함한다.
== 계산법 ==▼
[[파일:Poser-une-multiplication.gif|섬네일|오른쪽|170px|{{개행 금지|43 × 25}}의 [[필산|필산법]]]]▼
* 비교적 작은 자연수의 곱셈의 [[암산]]을 위해 [[구구단]], [[19단]] 등을 외우기도 한다.▼
* 큰 자연수(이를테면 두 자릿수와 두 자릿수의 곱셈)를 곱할 때에는 곱하려는 두 수를 세로로 나열해 구구법에 기초하여 계산할 수 있다(오른쪽 그림).▼
== 형식적 정의 ==
줄 66 ⟶ 70:
:<math>\N,\Z,\Q,\R</math> 는 각각 자연수,정수,유리수,실수 일때,
정수 내지 복소수 수 체계를 공리화했을 때, 곱셈은 일정한 조건을 만족하는 이항 연산으로서 기술된다. 이들을 형식적으로 구성할 수도 있다. (특히 [[집합론]]에서) 정수 체계는 ℕ × ℕ 위의 [[동치류]]로서 구성되며, 이때 곱셈은 다음과 같은 방법으로 [[w:Well-defined|잘 정의된]](well-defined) 것으로 된다.
:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)</math>
줄 81 ⟶ 85:
:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc),\quad a,b,c,d \in \R</math>
▲== 계산법 ==
▲[[파일:Poser-une-multiplication.gif|섬네일|오른쪽|170px|{{개행 금지|43 × 25}}의 [[필산|필산법]]]]
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== 같이 보기 ==
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