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6번째 줄: 무리수의 집합은 <math>\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}</math>로 정의한다. 무리수는 ~~소숫점~~소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) [[무한소수]]이다. 무리수는 다시 <math>\sqrt{2}</math>와 같은 [[대수적 수]]인 무리수와 <math>\pi</math> 등의 [[초월수]]로 나뉜다. 14번째 줄: 무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 [[피타고라스 학파]]로 전해진다. [[히파소스]]는 [[제곱근 2\|이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비]]는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다.<ref>[[Morris Kline\|Kline, M.]] (1990). ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972). p.33.</ref> 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파의 동료들이 히파소스를 죽였다는 전설이 있다. [[에우클레이데스의 원론]] 10권을 포함한 고대 그리스 ~~수학 책에서는~~수학책에서는 유리수 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는({{lang\|grc\|ῥητός\|레토스}})’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는({{lang\|grc\|ἄλογος\|알로고스}})’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 [[로고스]]가 없다는 뜻의 단어로, ~~말없음~~말 없음·~~이성없음~~이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 {{lang\|la\|numerus irrationalis}}로 번역되어 지금에 이른다. == ~~몇가지~~몇 가지 무리수의 증명 == === 특수한 ~~로그꼴의~~로그 꼴의 수 === 가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 <math>\log_2 3</math> 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 [[귀류법]]을 사용하며, 다음과 같다: * <math>\log_2 3</math> 을 유리수라 하자. 그러면, 어떤 자연수 <math>m, n</math>에 대해, <math>\log_2 3 = \frac m n</math> 을 만족한다. * 따라서, <math>2^{\frac m n} = 3</math> 이 되고. * 변형하면, <math>2^m = 3^n</math>이다. * 그런데, <math>2^m</math>은 짝수이고, <math>3^n</math>은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다. 29번째 줄: 무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 [[피타고라스]]와 그 제자들로 알려져 있다. 이에 대한 증명의 ~~한가지~~한 가지 방법은 다음처럼 [[귀류법]]을 사용하는 것이다. # <math>\sqrt{2}</math>가 유리수라 하자. # 그러면, <math>\sqrt{2}</math>는 [[기약분수]] <math>\frac a b</math>로 쓸 수 있다. 다시 말해, [[서로소 정수\|서로소]]인 정수 <math>a, b</math>에 대해, <math>\left(\frac a b \right)^2 = 2</math>. 38번째 줄: # 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, <math>a</math>는 짝수여야 한다. # 따라서, <math>a^2</math>는 4의 배수. # 즉, <math>\frac {a^2} 2</math> 는 짝수. # (3)에서, <math>\frac {a^2} 2 = b^2</math>이다. # (7)과 (8)로부터, <math>b^2</math>가 짝수임을 알 수 있다. 49번째 줄: === 무리수+유리수 === # <math>\sqrt {2}+3</math>을 유리수라 가정하자. # 위의 식이 유리수라면 <math>\sqrt{2}+3=c</math> 를 만족하는 유리수 c가 있을 것이다. # 두 번째 식에서 3을 이항시키면 <math>\sqrt {2}=c-3</math> 이 된다. # 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 c에서 3을 뺀 값은 유리수이다. # 위의 소제목에서 <math>\sqrt{2}</math> 가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 <math>\sqrt {2}+3</math>이 유리수라는 가정과 위배된다. # 모순에 의해 <math>\sqrt {2}+3</math>이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.

무리수: 두 판 사이의 차이