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'''길이'''({{llang|en|length}})는 물체의 한 끝에서 다른 끝까지의 공간적 거리이다. 길이는 수직의 정도를 나타내는 [[높이]], [[두께]], 또는 면과 면 사이의 수직 거리를 나타내는 [[너비]]와 구별되어야 한다. 길이라는 용어는 길이가 측정되어야 하는 물체의 특정 [[차원]]에서 사용되는데, [[면적]]은 [[2차원]]의 측정, [[부피]]는 [[3차원]]의 측정인 것 처럼 길이는 1차원의 측정이다.
물체의 크기나 양을 정확하게 판단하기 위하여 제일 먼저 길이의 표준을 정하여 그 표준과 비교하여 길이를 판단하였는데, 옛날에는 성인 남자 신체의 한 부분을 길이의 표준으로 이용하였으며, 현재는 단위선분을 [[단위]]로 측정된다. 임의의 [[점]] P, Q 사이의 [[거리]]를 측정할 때, [[선분]] PQ를 잡고 이 [[선분]]의 길이가 단위 선분의 몇 배인지, 그리고 이 끝 수가 단위 선분의 1/10의 몇 배인지, 다시 끝 수가 나오면 이 수가 단위 선분의 1/<math>10^
길이의 표준 단위는 [[미터]]인데 미터는 빛이 진공에서 [[초]] 동안 진행한 경로상의 길이이다. 이 때 [[초]]는 세슘 원자의 멜팅상태에 있는 두 초미세 단준위 사이의 전이에 대응하는 복사선의 주기의 지속시간이다. 1899년 12월 11일, 국제 도량형 총회(General conference of weights and measrements) 는 미터의 정의를 273.16K의 일정한 온도와 1 [[바 압력]]이 유지되는 상태에서 두 개의 [[백금이리듐]] 막대의 두 막대 사이의 거리라고 변경하였다. 1960년에 미터의 정의는 진공 상태에서 질량이 86.3인 크립톤 [[동위원소]]가 진동하는 파장의 16507633.7312배로 다시 변경되었다. 현재 국제도량형국 국제비교 데이터베이스(BIPM KCDB)에 의하면 1m는 빛이 진공에서 1/299792458초 동안 진행한 거리를 말하며 [[초 (시간)|1초]]는 세슘-133 원자에서 방출된 특정한 파장의 빛이 9,192,631,770번 진동하는데 걸리는 시간을 말한다.
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==== 곡선의 길이 ====
만약 X가 [[거리 함수]] d의 [[거리 공간]]이면, ɤ: [a,b] → X인 조건에서 곡선의 길이(ɤ)를 [[상한]]이 모두 n 보다 크고 [a,b]의 범위 안에서 <math> t_0<t_1<t_2<...<t_n </math> 일 때, {
길이 교정 가능하다고 정의되는 곡선은 유한 길이를 갖고 있는 곡선이다. <math> t_1,t_2 </math> 이 [a,b]의 범위에서 존재할 때, 길이는 다음의 식으로 표현 가능하다.
:<math> \text{length} (\gamma|_{[t_1,t_2]})=|t_2-t_1|. </math>
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만일 ɤ가 [[립시츠 연속 함수]]라면, 이것은 항상 길이를 구할 수 있다. 더 나아가서, 이러한 경우에 우리는 <math>t_0</math>일때 ɤ의 속도를 정의할 수 있다. 이 때의 속도 식은 다음과 같다.
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그리고 ɤ의 식은 다음과 같다.
:
특히, X = <math>R^n</math>인 유클리드 공간이고 ɤ: [a,b] → <math>R^n</math> 이 미분가능한 경우에, ɤ의 식은 다음과 같다.
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===== 호의 길이(Arc length) =====
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[[다각형적 근삿값]]은 몇몇 선택적인 경우에 곡선 위에서 [[선형종속]]이다. 이러한 예로는 [[점함수]]로 이루어진 곡선과 [[선형함수]]로 이루어진 곡선 등이 있다. 선형함수로 이루어진 곡선의 경우에는 근사치 또한 선형이고 따라서 곡선과 근사치가 포개진다. 다각형적 근사치가 선형종속적이지만 [[고윳값]]이 0과 일치하는 경우도 존재하는데 다각형적 근사의 모든 점들이 원점에 위치하고 있는 꽃잎 모양 함수일 때이다.
곡선의 길이를 정밀하게 구하기 위해 매끄러운 곡선에 대해서 각 부분들의 길이를 임의로 충분히 작게 만든다. 어떤 곡선들에 대해서 다각형적 근사치의 길이 보다 큰 범위에 있는 가장 작은 수 L이 존재한다면, 그 곡선은 길이를 구할 수 있다고 말할 수 있으며 호 길이 L를 갖는다고 말할 수 있게 정의된다.
==== 유클리드 거리(Euclidean distance)유클리드 거리는 자로 인해 측정된 두 점 사이의 거리를 [[피타고라스 공식]]에 의해 정의된다. 이 공식을 사용함으로써, [[유클리드 공간]]은 [[거리 공간]]이 된다. ====▼
▲유클리드 거리는 자로 인해 측정된 두 점 사이의 거리를 [[피타고라스 공식]]에 의해 정의된다. 이 공식을 사용함으로써, [[유클리드 공간]]은 [[거리 공간]]이 된다.
점 '''p'''와 '''q''' 사이의 유클리드 거리는 두 점을 연결한 (<math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math>)의 직선 선분의 길이이다. [[직교 좌표계]]에서 '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>,..., ''p''<sub>''n''</sub>) 와 '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>,..., ''q''<sub>''n''</sub>)가 유클리드 공간에 있는 두 점이라면, '''p''' 에서 '''q'''까지의 거리는, 또는 '''q'''에서 '''p'''까지의 거리는 다음의 식으로 주어진다.
''n''번째 공간에 있는 점의 위치는 [[유클리드 벡터]]로 표현된다. 따라서 '''p''' 와 '''q'''는 공간의 원점에서 시작하고 끝이 두 점을 가리키는 유클리드 벡터이다. '''유클리드 길이'''는 이 벡터의 길이를 구함으로써 얻어진다:
:
'''p'''와 '''q'''사이의 거리는 방향을 가지기 때문에 다음의 벡터로 표현될 수 있다.제 직선 위에 있는 두 점 사이의 거리는 두 점의 좌표의 차이의 절댓값과 같다. ''x''와 ''y''가 실제 직선 위의 두 점이라고 하면, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.
[[유클리드 평면]]에서 '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>) 와 '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>)사이의 거리는 다음과 같다.▼
▲[[유클리드 평면]]에서 '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>) 와 '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>)사이의 거리는 다음과 같다.
이 식은 [[피타고라스 정리]]와 동일하다.
:
<br />
:<math>d = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.</math>
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=== 물리학에서 길이 ===
물리학에서는 플랑크 길이, <math>l_P</math>라는 개념이 정의된다. 플랑크 길이는 사실상 길이의 단위 중 하나인데 이 단위는 [[자연단위]]에 기초해서 측정계를 만들고자 했던 [[막스 플랑크]]에 의해
▲물리학에서는 플랑크 길이, <math>l_P</math>라는 개념이 정의된다. 플랑크 길이는 사실상 길이의 단위 중 하나인데 이 단위는 [[자연단위]]에 기초해서 측정계를 만들고자 했던 [[막스 플랑크]]에 의해 처음으로 만들어졌다. 이 플랑크 길이는 [[플랑크 질량]]에 기반을 두고 있다. [[양자역학]]과 [[상대성 이론]]이 그 당시에는 알려지지 않았음에도 불구하고 이러한 단위들이 제시되었고 훗날 플랑크 길이는 중력이 양자역학적 효과를 전시하면서 명백하게 정의되었다. <br />
플랑크 질량은 슈바르츠실트 반지름과 콤프턴 길이가 동일할 때의 질량을 말한다. 이 때의 거리가 플랑크 길이라고 불리는 것인데 이것은 ħ는 [[디랙]] 상수, G는 중력 상수, c는 진공에서 빛의 속도일 때, <math>\ell_P =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \approx 1.616 199 (97) \times 10^{-35} \mbox{ m}</math>이다. 측정된 우주의 크기는 <math>1.2 \times 10^{62}</math> 플랑크 길이이다. <br />
결론적으로 양자역학의 [[하이젠베르크]]의 [[불확정성 원리]]에 의해 플랑크 길이가 정확한 위치에 있는 물체는 운동량에서 불확정성을 가진다. 이 말은 야구공의 위치를 정할 수 있고 이것이 플랑크 길이가 정확하다면, 이것의 속도를 구별하는 것은 불가능하다는 것을 의미한다.
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:<math> \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j
</math>디바이-휴켈 길이는 [[비제름 길이]] <math>\lambda_B</math>의 용어로 표현될 수 있다. <math>z_j = q_j/e</math>는 <math>j</math>번째 이온의 전하와 [[단위 전하]] <math>e</math>에 관련이
▲디바이-휴켈 길이는 [[비제름 길이]] <math>\lambda_B</math>의 용어로 표현될 수 있다. <math>z_j = q_j/e</math>는 <math>j</math>번째 이온의 전하와 [[단위 전하]] <math>e</math>에 관련이 있는 [[전하수]]이다.
:<math> \lambda_D =
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: ''T<sub>e</sub>''와 ''T<sub>i</sub>''는 전자와 이온의 온도,
: ''n<sub>e</sub>''는 전자의 밀도,
이온 용어는 이온의 운동이 무시 가능하다는 가정하에 다음의 식을 도출해낸다.대칭적인 일가의 전해질에서는 다음의 식이 성립한다.
<br />
:''R''는 [[기체 상수]],<math> \kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_B N_A I}} </math>▼
이 때,
: <math>\lambda_B</math>는 매질의 [[비제름 길이]]이다.<math> \kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}</math>이 때,▼
:
▲:<math> \kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_B N_A I}} </math>
▲:<math> \kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}</math>
▲: ''κ''<sup>−1</sup>는 [[나노미터]](nm)로 표현된다.
▲: ''I''는 [[이온 결합력]]이며 [[몰랄농도]] (M or mol/L)로 표현된다.
아인슈타인의 특수상대성이론에 따르면 정지한 관찰자에 대하여 평행으로 운동하는 물체에는 [[길이수축]] 현상이 일어난다고 한다.
▲아인슈타인의 특수상대성이론에 따르면 정지한 관찰자에 대하여 평행으로 운동하는 물체에는 [[길이수축]] 현상이 일어난다고 한다. 때문에 길이가 수축된 물체는 [[고유길이]](Proper length)보다 짧게 측정된다. 이 때 측정되는 물체의 길이는 다음 식을 만족한다. <math> \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} </math>일때, <math> L_p\ = \frac{L}{\gamma}= L \sqrt{1-v^2/c^2} </math>이다. 여기서 <math> \gamma </math> 는 로렌츠 인자, <math> L </math> 은 [[고유길이]]이고, <math> c </math> 는 빛의 속도, <math> v </math> 는 움직이는 속도이다.
=== 화학에서 길이 ===
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