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벌집 (기하학): 두 판 사이의 차이

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호남시대 (토론 | 기여)
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[[파일:cubic honeycomb.png|섬네일|150px|[[정육면체 벌집]]]]
'''4차원 정다포체'''란 [[정다면체]]를 4차원으로 확장한 것이다.
 
[[기하학]]에서, '''벌집'''({{llang|en|honeycomb}})은 [[다면체]] 또는 고차원 ''세포''로 빈틈없는 ''공간 채우기''(space filling) 또는 ''[[밀집 채우기]](close packing)이며, 수학적 ''[[쪽매맞춤]]'',''타일링'' 또는 ''테셀레이션''의 모든 차원으로 확장한 것의 예시이다. 그 차원은 ''n''차원 공간의 벌집을 ''n''-벌집으로 구분해 준다.
== 볼록 4차원 정다포체 ==
{| class=wikitable
!이름!![[슐레플리 기호|슐레플리<BR>기호]]!!점!!모서리!!면!!포!!χ
|-
|[[정오포체]]||{3, 3, 3}||5||10||10||5||0
|-
|[[정십육포체]]||{3, 3, 4}||8||24||32||16||0
|-
|[[정팔포체]]||{4, 3, 3}||16||32||24||8||0
|-
|[[정이십사포체]]||{3, 4, 3}||24||96||96||24||0
|-
|[[정백이십포체]]||{5, 3, 3}||600||1200||720||120||0
|-
|[[정육백포체]]||{3, 3, 5}||120||720||1200||600||0
|}
 
벌집은 보통 일반적인 [[유클리드 기하학|유클리드]] ("평평한") 공간에 만들 수 있다. [[#쌍곡 벌집|쌍곡 벌집]](hyperbolic honeycomb) 같이 [[비유클리드 기하학|비유클리드 공간]]에서 만들 수 있다. 어떤 유한한 [[고른 다포체]]는 그 [[외접구]]로 투영해서 구면 공간의 고른 벌집을 생성할 수 있다.
4차원의 볼록 정다포체는 오직 6개밖에 없다. 이는 3차원의 [[정다면체]]가 5개뿐인 이유와 같으며, 정다면체가 5개뿐임을 증명할 때 [[정다각형]]들의 내각을 계산해 보듯 각 정다면체의 [[이면각]]을 따져 보면 알 수 있다.
 
[[파일:Wallpaper group-cmm-1.jpg|200px|right|섬네일|평면을 [[다각형]]의 꼭짓점이 그 귀퉁이에서 만나지 않게 채울 수 있다. 그 예시는 벽의 벽돌 패턴처럼 직사각형을 사용할 수 있다. 하지만 이 패턴은 귀퉁이가 이웃한 다각형의 모서리에 부분적으로 놓여 있기 때문에 적절한 타일링이 아니다. 비슷하게, 적절한 벌집에서는 반드시 모서리나 꼭짓점이 면에 놓여 있어서는 안 된다. 각각의 벽돌의 면을 두 내각이 180도인 [[육각형]]으로 해석하면 패턴으로 해석하면 적절한 타일링으로 볼 수 있다. 하지만, 모든 기하학자들이 이런 육각형을 인정하지는 않는다.]]
정다포체는 정다면체보다 한 개가 많다. 그래서 정다포체를 정다면체와 대응시켜 보면 하나가 남는다는 것을 알 수 있다. 실제로, 각 초입체들과 입체들은 비슷한 것들끼리 쉽게 짝지을 수 있다. 대응시켜 보면, [[정오포체]]는 [[정사면체]]에 대응되고, [[정팔포체]]는 [[정육면체]]에, [[정십육포체]]는 [[정팔면체]]에, [[정백이십포체]]는 [[정십이면체]]에, [[정육백포체]]는 [[정이십면체]]에 대응된다. 그리고 남는 정다포체는 [[정이십사포체]]인데, 이 입체는 3차원에도 비슷한 입체가 없고 5차원부터는 다시 사라지는, 오직 4차원에만 존재하는 입체라서 '4차원의 고유한 정다포체'라고 할 수 있다(이것은 5차원 이상에 동면의 정다포체가 없다는 게 아니라 정이십사포체로 5차원 이상의 볼록 정다포체를 만들 수 없다는 것이다). 참고로 [[정육면체]] [[정육면체 벌집|4개]]가 한 모서리에 모이면 [[정다면체 및 정다포체 벌집|벌집]]이 된다 (슐레플리 기호는 {4, 3, 4}이다). 마찬가지로 [[정팔포체 벌집]]이나 [[정십육포체 벌집]], [[정이십사포체 벌집]]의 [[슐레플리 기호]]는 각각 {4, 3, 3, 4}, {3, 3, 4, 3}, {3, 4, 3, 3}인데, [[정팔포체 벌집]]은 역시나 [[정육면체 벌집]]이나 [[정사각형 타일링]]처럼 [[자기쌍대]][[자기쌍대 다포체/타일링|이고]], [[정십육포체 벌집|정십육포체로 만든 것]]은 [[정이십사포체 벌집|정이십사포체 로 만든 것]]이다. 5차원의 [[단체 (수학)|단체]]는 [[5차원 정육포체]]{3, 3, 3, 3}이고, 5차원 [[초입방체]], [[정축체]]는 [[5차원 정십포체]]{4, 3, 3, 3}와 [[5차원 정삼십이포체]]{3, 3, 3, 4}이다. 차원을 붙인 이유는 서로 다른 5 이상의 차원에서 같은 이름이 나올 때 혼동하자 말라고 붙이는 것이다. 이것도 정다면체와 마찬가지로 [[깎기 (기하학)|깎으면]] 맨 끝에 차원의 수-2의 [[슐레플리 기호]] 를 가진 정다면체나 정다포체가 나온다. 예를 들어 [[깎은 정육면체|정육면체를 깎으면]] 단면이 [[정삼각형]]이 되고, [[깎은 정이십면체|정이십면체를 깎으면]] [[정오각형]]이 된다는 것을 이용해 단면이 [[정사면체]]인 것은 [[정오포체]], [[정팔포체]], [[정백이십포체]]이고 깎은 단면이 [[정팔면체]]인 것은 [[정십육포체]]와 [[정육면체 벌집]]이고, 단면아 [[정이십면체]]인 것은 [[정육백포체]]이다. 또, 정육면체가 되는 것은 [[정이십사포체]] 뿐이며, 단면이 정십이면체인 것은 없다.
 
==분류==
== 오목 4차원 정다포체 ==
부분적으로만 분류된 벌집은 무한히 있다. 더 정규적인 것은 가장 흥미를 끌지만 다른 것들의 풍부하고 다양한 구색들이 계속해서 발견된다.
{{본문|슐레플리-헤스 다포체}}
 
만들기 가장 간단한 벌집은 평면의 [[테셀레이션]]에 기반한 [[각기둥]]의 층이나 ''판''을 쌓아서 만드는 것이다. 특히 모든 [[평행육면체]]는 특별한 [[정육면체 벌집]]으로 공간을 채울 수 있다. 이 벌집이 특별한 이유는 일반적인 (유클리드) 공간에서 유일한 ''정규'' 벌집이기 때문이다. 다른 흥미로운 족은 [[힐 사면체]]와 그 일반화로 마찬가지로 공간 타일링을 할 수 있다.
총 10가지가 있으며, [[케플러-푸앵소 다면체]]를 4차원으로 확장시킨 것이다. 그리고 자기쌍대인 2가지와 자기쌍대가 아닌 것 2가지를 제외하면 모두 확장 개념이 된다. 나머지 6개 [[작은 별모양 백이십포체|{5/2, 5, 3}]]•[[큰 별모양 백이십포체|{5/2, 3, 5}]]•[[큰 거대 별모양 십이면체|{5/2, 3, 3}]]•[[정이십면체 백이십포체|{3, 5, 5/2}]]•[[거대 백이십포체|{5, 3, 5/2}]]•[[거대 육백포체|{3, 3, 5/2}]]는 각각 [[작은 별모양 십이면체|{5/2, 5}]]와 [[큰 십이면체|{5, 5/2}]], [[큰 별모양 십이면체|{5/2, 3}]]와 [[큰 이십면체|{3, 5/2}]]를 확장시켜 얻어진다.
 
== 자기쌍대 벌집==
{{폴리토프}}
벌집도 [[쌍대성 (수학)|자기쌍대]]가 될 수 있다. 모든 [[슐레플리 기호]]가 {4,3<sup>''n''&minus;2</sup>,4}인 ''n''-차원 [[초입방체 벌집]]은 자기쌍대이다.
 
== 같이 보기 ==
[[분류:4차원 다포체]]▼
* [[고른 타일링의 목록]]
* [[정다포체의 목록#테셀레이션|정규 벌집]]
* [[꼬인 무한면체]]
* [[Plesiohedron]]
 
==더 읽어보기==
* [[해럴드 스콧 맥도날드 콕서터|Coxeter, H. S. M.]]: ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]''.
<!--* {{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)|pages=164–199}} Chapter 5: Polyhedra packing and space filling-->
* Critchlow, K.: ''Order in space''.
* Pearce, P.: ''Structure in nature is a strategy for design''.
* Goldberg, Michael ''Three Infinite Families of Tetrahedral Space-Fillers'' Journal of Combinatorial Theory A, 16, pp.&nbsp;348–354, 1974.
* Goldberg, Michael ''The space-filling pentahedra'', Journal of Combinatorial Theory, Series A Volume 13, Issue 3, November 1972, Pages 437-443 [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316572900775]
* Goldberg, Michael ''The Space-filling Pentahedra II'', Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375–378.
* Goldberg, Michael ''On the space-filling hexahedra'' Geom. Dedicata, June 1977, Volume 6, Issue 1, pp 99–108 [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00181585]
* Goldberg, Michael ''On the space-filling heptahedra'' Geometriae Dedicata, June 1978, Volume 7, Issue 2, pp 175–184 [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00181630]
* Goldberg, Michael ''Convex Polyhedral Space-Fillers of More than Twelve Faces.'' Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
* Goldberg, Michael ''On the space-filling octahedra'', Geometriae Dedicata, January 1981, Volume 10, Issue 1, pp 323–335 [https://link.springer.com/article/10.1007/BF01447431] [https://web.archive.org/web/20171222105633/https://documents.mx/documents/on-the-space-filling-octahedra.html PDF]
* Goldberg, Michael ''On the Space-filling Decahedra''. Structural Topology, 1982, num. Type 10-II [https://upcommons.upc.edu/handle/2099/990 PDF]
* Goldberg, Michael ''On the space-filling enneahedra'' Geometriae Dedicata, June 1982, Volume 12, Issue 3, pp 297–306 [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00147314]
 
== 외부 링크 ==
<!--* {{초공간 용어사전 인용| anchor=Honeycomb | title=Honeycomb }}-->
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/five_sf/five.htm Five space-filling polyhedra], Guy Inchbald, The Mathematical Gazette '''80''', November 1996, p.p.&nbsp;466-475.
* [http://www.3doro.de/space-filling/ Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski]
* {{매스월드|Space-FillingPolyhedron|Space-Filling Polyhedron}}
 
{{벌집}}
 
{{토막글|기하학}}
 
[[분류:벌집 (기하학)| ]]
▲[[분류:4차원 다포체]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/벌집_(기하학)"