|
47! 47!
[[집합론]]에서, '''강제법'''(強制法, {{llang|en|forcing}})은 특정한 조건을 만족시키는 [[집합론]] [[구조 (논리학)|모형]]을 정의하는 방법이다.<ref>{{저널 인용|제목=What is … forcing?|url=http://www.ams.org/notices/200806/tx080600692p.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|이름=Thomas|성=Jech|날짜=2008-06|쪽=692–693|권=55|호=6|zbl=1194.03001|언어=en}}</ref><ref name="Chow">{{서적 인용|장=A beginner’s guide to forcing|이름=Timothy Y.|성=Chow|arxiv=0712.1320|bibcode=2007arXiv0712.1320C|총서=Contemporary Mathematics|권=479|제목=Communicating mathematics: a conference in honor of Joseph A. Gallian’s 65th birthday, July 16–19, 2007, University of Minnesota, Duluth, Minnesota|editor1-first=Timothy Y.|editor1-last=Chow|editor2-first=Daniel C.|editor2-last=Isaksen|날짜=2009|mr=2513355|doi=10.1090/conm/479/09340|zbl=1183.03037|쪽=25–40|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=A cheerful introduction to forcing and the continuum hypothesis|bibcode=2007arXiv0712.2279E|arxiv=0712.2279|이름=Kenny|성=Easwaran|날짜=2007|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Forcing for mathematicians|doi=10.1142/8962|이름=Nik|성=Weaver|isbn=978-981-4566-00-1|출판사=World Scientific|zbl=1295.03001|날짜=2014-04|언어=en}}</ref>
47 반달!
강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, [[연속체 가설]]의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. <math>2^{\aleph_0}\ge\aleph_2</math>이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 <math>\mathbb N</math>의 [[부분 집합]]을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다.
지금은 반달시대!
강제법에 대하여 파트리크 드오르누아({{llang|fr|Patrick Dehornoy}})는 다음과 같이 비유하였다.
{{인용문2|집합론의 강제법 확장은 마치 [[체 (수학)|체론]]의 [[대수적 확대]]에 비유할 수 있다. 두 경우 모두 공통적인 목표는 주어진 구조를 확장하되, 확장된 구조의 성질이 원래 구조 속에서 제어될 수 있게 하는 것이다. 대수적 확대의 경우, 확대체의 원소는 원래 체의 원소를 계수로 하는 [[다항식]]으로 묘사된다. 마찬가지로, 강제법 확장의 경우, […] 원소들은 원래 모형에 등장하는 매개 변수들로 쓸 수 있는 항들로 묘사된다.<br>{{lang|fr|[On peut] imaginer les extensions par forcing en théorie des ensembles comme analogues aux extensions algébriques en théorie des corps: dans les deux cas, il s’agit de construire une extension de la structure de départ dont les propriétés soient contrôlées de l’intérieur de celle-ci. Dans les extensions algébriques, les éléments de l’extension sont décrits par des polynômes à coefficients dans le corps de base; de même, dans une extension par forcing […] les éléments dont décrits par des termes dont les paramètres appartiennent au modèle de base.}}|<ref>{{서적 인용|장=Au-delà du forcing: la notion de vérité essentielle en théorie des ensembles|editor1-first=Jean-Baptiste|editor1-last=Joinet|제목=Logique, dynamique et cognition|출판사=Publications de la Sorbonne|날짜=2007-09-13|쪽=147–170|이름=Patrick|성=Dehornoy|장url=http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf|url=http://www.publications-sorbonne.fr/fr/livre/?GCOI=28405100318680|총서=Logique, langage, sciences, philosophie|issn=1956-0451|isbn=978-2-85944-584-3|언어=fr}}</ref>{{rp|§3}}}}
[[47]] [[반달리즘]]
== 정의 ==
=== 강제법 언어 ===
<math>M</math>이 [[추이적 집합]]이라고 하자. 또한, 임의의 [[집합]] <math>P</math> 및 그 [[부분 집합]] <math>G\subseteq P</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면
:<math>M^P=\{u\in\operatorname{Name}_P\colon\operatorname{val}_G(u)\in M\}</math>
을 정의하자. 이는 <math>M</math>에서 <math>G</math>-해석할 수 있는 <math>P</math>-[[이름 (강제법)|이름]]들의 집합이다.
ㅋ
그렇다면 '''강제법 언어''' <math>\mathcal L_P</math>는 [[집합론]]의 [[1차 논리]] 언어 <math>\mathcal L_\in</math>에 <math>M^P</math>의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 [[1차 논리]] 언어이다.
lol
임의의 원소 <math>x\in M</math>에 대하여, [[이름 (강제법)|이름]]
:<math>\check x=\{(\check y,p)\colon y\in x,\;p\in P\}\in M^P</math>
를 정의하자.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-07|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|깨진링크=예}}</ref>{{rp|239, Exercise VIII(B2)}} 이는 <math>x\in M</math>의 '''이름'''이라고 한다.
haha
=== 강제법 모형 ===
[[집합]] <math>P</math>와 그 [[부분 집합]] <math>G\subseteq P</math> 및 [[추이적 집합]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal L_P</math>의 [[추이적 모형]] <math>M[G]</math>를 다음과 같이 정의하자.
* 집합으로서, <math>M[G]=\{\operatorname{val}(u,G)\colon u\in M^P\}</math>는 <math>M</math>에 속하는 [[이름 (강제법)|이름]]들의 해석들이다.
* <math>\in</math>의 해석은 외적인 개념과 같다.
* <math>M[G]</math>에서, 상수 <math>u\in M^P</math>의 해석은 <math>\operatorname{val}_G(u)</math>이다.
[[분류:숫자]]
이에 대하여 [[케네스 쿠넌]]은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
대략, 이것[<math>M[G]</math>]은<math>M</math>에서 정의 가능한 집합론적 과정을 <math>G</math>에 적용하여 구성할 수 있는 모든 집합들의 집합이다. <math>M[G]</math>의 각 원소들은 <math>M</math> 속의 이름을 가지며, 이는 이것이 어떻게 <math>G</math>로부터 구성되었는지를 가리킨다. […] <math>M</math> 속에 사는 사람들은 <math>M[G]</math>의 원소의 이름 <math>\tau</math>를 이해할 수 있다. 그러나 이들은 이름 <math>\tau</math>가 명명하는 대상 <math>\tau_G</math>를 일반적으로 결정하지 못한다. 이는 <math>\tau_G</math>의 이해는 <math>G</math>에 대한 지식을 필요로 하기 때문이다.<br>
{{lang|en|Roughly, this [<math>M[G]</math>] will be the set of all sets which can be constructed from <math>G</math> by applying set-theoretic processes definable in <math>M</math>. Each element of <math>M[G]</math> will have a name in <math>M</math>, which tells how it has been constructed from <math>G</math>. […] People living within <math>M</math> will be able to comprehend a name, <math>\tau</math>, for an object in <math>M[G]</math>, but they will not in general be able to decide the object, <math>\tau_G</math>, that <math>\tau</math> names, since this will require a knowledge of <math>G</math>.}}
|<ref name="Kunen"/>{{rp|188, §VII.2}}}}
=== 강제성 관계 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[추이적 집합]] <math>M</math>
* [[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math> 및 그 [[부분 집합]] <math>G\subseteq P</math>. 대략, <math>p\lesssim q</math>라면 <math>q</math>가 <math>p</math>보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다.
* 강제법 언어 <math>\mathcal L_P</math>의 [[1차 논리]] 문장 <math>\phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L_P)</math>
* 원소 <math>p\in P\in M</math>. 이를 '''강제 조건'''({{llang|en|forcing condition}})이라고 한다.
그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자.<ref name="Kunen"/>
:<math>p\Vdash_{P,M}\phi\iff\forall G\in\operatorname{Generic}(P,M)\colon p\in G\implies M[G]\models\phi</math>
여기서 <math>\operatorname{Generic}(P,M)</math>는 <math>M</math>에 속하는 <math>P</math>의 모든 [[공종 집합]]들의 족 <math>\operatorname{Cofin}(P)\cap M</math>에 대하여 모든 <math>\operatorname{Cofin}(P)\cap M</math>-[[포괄적 순서 아이디얼]]들의 집합이다.
또한, 다음과 같은 관계
:<math>p\Vdash^*\phi</math>
를 재귀적으로 정의하자.<ref name="Kunen"/>{{rp|195–196, Definition VII.3.3}} (여기서 <math>u,v\in\operatorname{Name}_P</math>는 임의의 두 <math>P</math>-[[이름 (강제법)|이름]]이다.)
:<math>\left(p\Vdash^* u\in v\right)\iff\forall q\gtrsim p\exists r\gtrsim q\exists(\tilde u,s)\in v\colon r\gtrsim s\land\left(r\Vdash u=\tilde u\right)</math>
:<math>\left(p\Vdash^* u=v\right)\iff\forall q\gtrsim p
\forall w\in M^P\colon
(q\Vdash^* w\in u)\iff(q\Vdash^* w\in v)</math>
:<math>\left(p\Vdash^* \lnot\phi\right)\iff\nexists q\gtrsim p\colon q\Vdash\phi</math>
:<math>\left(p\Vdash^*\phi\land\chi\right)\iff
\left(p\Vdash^*\phi\right)\land\left(p\Vdash^*\phi\right)</math>
:<math>\left(p\Vdash^*\forall x\colon\phi(x)\right)\iff\forall u\in M^P\colon\left(p\Vdash^*\phi[u]\right)</math>
== 성질 ==
=== 강제법 모형 ===
[[집합]] <math>P</math>와 그 부분 집합 <math>G\subseteq M</math> 및 [[추이적 집합]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\{\check m\colon M\in M\}\subseteq M^P</math>
이다. 만약 <math>P\ne\varnothing</math>이라면
:<math>M\to M^P</math>
:<math>m\mapsto\check m</math>
은 [[단사 함수]]이며, 만약 추가로 <math>G\ne\varnothing</math>이라면
:<math>\forall m\in M\colon\operatorname{val}_G(\check m)=m</math>
이다. 따라서, <math>G\ne\varnothing</math>이라면 <math>M\subseteq M[G]</math>이다.
또한, 만약 <math>\varnothing\ne G\subseteq P\in M</math>일 때, <math>P</math>-[[이름 (강제법)|이름]]
:<math>u=\{(\check p,p)\colon p\in P\}</math>
을 생각하면
:<math>\operatorname{val}_G(u)=G</math>
이다. 따라서, 이 경우 <math>G\in M[G]</math>이다.
만약 <math>M</math>이 추가로 ZFC의 [[추이적 모형]]이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|189, Lemma VII.2.9}}<ref name="Shoenfield"/>{{rp|361, §4}}
:임의의 <math>M'\supseteq M</math>에 대하여, 만약 <math>M'</math> 역시 ZFC의 [[추이적 모형]]이며 <math>M'\ni G</math>라면, <math>M[G]\subseteq M'</math>이다.
즉, <math>M[G]</math>는 <math>G</math>와 <math>M</math>을 포함하는 최소의 ZFC [[추이적 모형]]이다.
이에 대하여 티머시 이청 차우({{llang|en|Timothy Yi-Chung Chow}})는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|강제법의 기본 정리에 따르면, 매우 일반적인 조건 아래, [[체르멜로-프렝켈 집합론|ZFC 공리]]들을 만족시키는 [[구조 (논리학)|수학적 구조]] <math>M</math>에 새 원소 <math>U</math>를 추가하여, ZFC를 여전히 만족시키는 더 큰 구조 <math>M[U]</math>를 만들 수 있다. 개념적으로, 이 과정은 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 새 원소 <math>X</math>를 추가하여 [[다항식환|더 큰 환]] <math>R[X]</math>를 만드는 과정에 비유할 수 있다. 그러나 <math>M[U]</math>의 구성이 훨씬 더 복잡한 이유는 ZFC의 공리계가 [[환 (수학)|환]]의 공리계보다 훨씬 더 복잡하기 때문이다.<br>{{lang|en|The fundamental theorem of forcing is that, under very general conditions, one can indeed start with a mathematical structure <math>M</math> that satisfies the ZFC axioms, and enlarge it by adjoining a new element <math>U</math> to obtain a new structure <math>M[U]</math> that also satisfies ZFC. Conceptually, this process is analogous to the process of adjoining a new element <math>X</math> to, say, a given ring <math>R</math> to obtain a larger ring <math>R[X]</math>. However, the construction of <math>M[U]</math> is a lot more complicated because the axioms of ZFC are more complicated than the axioms for a ring.}}|<ref name="Chow"/>{{rp|26, §2}}}}
=== 강제성 관계의 성질 ===
<math>M</math>이 ZFC의 [[추이적 모형]]이며, <math>P\in M</math>이며, <math>G</math>가 <math>P</math> 위의 [[포괄적 순서 아이디얼]]이라고 하자.
그렇다면 다음을 보일 수 있다. <math>\mathcal L_P</math>의 (자유 변수가 없는) 명제 <math>\phi</math>에 대하여,
* <math>M[G]\models\phi\iff M\models(\exists p\in G\colon p\Vdash^*\phi)</math>.<ref name="Kunen"/>{{rp|200, Theorem VII.3.6(2)}} 즉, <math>M[G]</math>에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 <math>p\in P</math>)가 존재해야 한다.
* (내적 정의 가능성) 임의의 문장 <math>\phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L_P)</math>에 대하여, <math>p\Vdash\phi\iff M\models\left(p\Vdash^*\phi\right)</math><ref name="Kunen"/>{{rp|200, Theorem VII.3.6(1)}}
* (일관성) <math>p\mapsto\{\phi\in\mathcal L_P\colon p\Vdash\phi\}</math>는 [[순서 보존 함수]] <math>P\to(\mathcal P(\mathcal L_P),\subseteq)</math>를 정의한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|194, Lemma 3.2(a)}} 즉, <math>p\Vdash\phi</math>이며 <math>p\lesssim q</math>라면 <math>q\Vdash\phi</math>이다.
이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다.
이에 대하여 [[케네스 쿠넌]]은 다음과 같이 설명하였다.
{{인용문2|<math>M</math>에 사는 사람들은 <math>M</math> 속에서 <math>P</math>-[[포괄적 필터|포괄적]] <math>G</math>를 구성할 수 없다. 이들은 신앙으로서 그들의 세계 <math>M</math>이 [[가산 집합|가산]]적으로 보이는 존재가 존재한다는 것을 믿을 수 있다. 이러한 존재에게는 포괄적 <math>G</math>가 존재한다. <math>M</math>에 사는 사람들은 <math>G</math>와 <math>\textstyle f_G=\bigcup G</math>가 무엇인지 알지 못하지만, 이들의 이름이 무엇인지는 알고 있다. 또한, 이들은 <math>G</math>와 <math>f_G</math>가 만족시키는 일부 성질들을 알아낼 수 있다. 보다 일반적으로, 이들은 소위 강제법 언어 — 즉, 강제법 언어의 문장 <math>\psi</math>는 <math>M^{\mathbb P}</math>의 이름들을 사용한다 — 를 사용하여 <math>M[G]</math>에 대한 뭔가를 말할 수 있다. <math>M</math>에 사는 사람은 주어진 <math>\psi</math>가 <math>M[G]</math>에서 참인지 알지 못할 수 있다. <math>M[G]</math>에서 <math>\psi</math>가 참인지, 거짓인지 여부는 일반적으로 <math>G</math>에 의존한다.<br>{{lang|en|People living in <math>M</math> cannot construct a <math>G</math> which is <math>\mathbb P</math>-generic over <math>M</math>. They may believe on faith that there exists a being to whom their universe, <math>M</math>, is countable. Such a being will have a generic <math>G</math> and an <math>\textstyle f_G=\bigcup G</math>. The people in <math>M</math> do not know what <math>G</math> and <math>\textstyle f_G=\bigcup G</math> are but they have names for them […]. They may also […] figure out certain properties of <math>G</math> and <math>f_G</math>. […] More generally, they can construct a forcing language, where a sentence <math>\psi</math> of the forcing language uses the names in <math>M^{\mathbb P}</math> to assert something about <math>M[G]</math> […]. The person in <math>M</math> may not know whether a given <math>\psi</math> is true in <math>M[G]</math>. The truth or falsity of <math>\psi</math> in <math>M[G]</math> will in general depend on <math>G</math>.}}|<ref name="Kunen"/>{{rp|193, §VII.3}}}}
=== 기수의 보존 ===
순서수의 개념은 [[절대 논리식|절대적]]이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 [[기수 (수학)|기수]]의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 <math>M</math>의 기수가 <math>M[G]</math>에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.
ZFC의 [[추이적 모형]] <math>M</math> 및 <math>P\in M</math> 및 <math>P</math> 위의 원순서 <math>\lesssim</math>가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>P</math>가 '''<math>M</math>의 기수를 보존한다'''({{llang|en|preserves cardinals of <math>M</math>}})고 한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|206, Definition VII.5.6}}
* 임의의 [[포괄적 순서 아이디얼]] <math>G\subseteq P</math> 및 순서수 <math>\alpha\in\operatorname{Ord}\cap M</math>에 대하여, <math>M\models(\alpha\in\operatorname{Card})\iff M[G]\models(\alpha\in\operatorname{Card})</math>이다.
만약 다음 조건이 성립한다면, <math>P</math>가 '''<math>M</math>의 [[공종도]]를 보존한다'''({{llang|en|preserves cofinalities in <math>M</math>}})고 한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|206, Definition VII.5.6}}
* 임의의 [[포괄적 순서 아이디얼]] <math>G\subseteq P</math> 및 두 순서수 <math>\alpha,\beta\in\operatorname{Ord}\cap M</math>에 대하여, <math>M\models(\operatorname{cf}\alpha=\beta)\iff M[G]\models(\operatorname{cf}\alpha=\beta)</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{cf}</math>는 순서수의 [[공종도]]를 뜻한다.)
그렇다면, 임의의 <math>P\in M</math>에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|207, Lemma VII.5.8, Theorem VII.5.10}}
:(<math>M\models</math>(<math>P</math>는 [[가산 강상향 반사슬 조건]]을 만족시킨다)) ⇒ <math>P</math>는 <math>M</math>의 공종도를 보존한다 ⇒ <math>P</math>는 <math>M</math>의 기수를 보존한다
== 예 ==
=== 무작위 강제법 ===
<math>(P,\le)=(\operatorname{Bor}([0,1]),\supseteq)</math>라고 하자. 여기서 <math>\operatorname{Bor}([0,1])</math>은 단위 [[구간]] <math>[0,1]</math> 위의, [[르베그 측도]]가 양수인 [[보렐 집합]]들의 [[집합족]]이다. <math>(P,\le)</math>는 [[최소 원소]] <math>[0,1]</math>을 갖는 [[부분 순서 집합]]이다.
이 경우, [[포괄적 필터]] <math>G</math>는 <math>\mathcal P([0,1])</math> 속의 [[필터 기저]]로서 어떤 실수 <math>r</math>로 [[근방 필터|수렴]]하게 된다.
:<math>\lim G=r\in[0,1]\setminus V</math>
이 경우, <math>V[r]</math>는 '''무작위 강제법'''({{llang|en|random forcing}})이라고 한다.
=== 코언 강제법 ===
{{본문|부분 정의 함수}}
기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>가 정의역의 크기가 <math>\kappa</math> 미만인 [[부분 정의 함수]] <math>X\to Y</math>들의 [[부분 순서 집합]]이라고 하자. 그렇다면, 이 [[부분 순서 집합]]에 대한 [[강제법]]을 '''코언 강제법'''({{llang|en|Cohen forcing}})이라고 하며, 이를 사용하여 [[연속체 가설]]의 독립성을 보일 수 있다.
== 응용 ==
강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. [[연속체 가설]]이나 [[구성 가능성 공리]]가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 [[선택 공리]]의 독립성 또한 보일 수 있다.
[[계산 가능성 이론]]에서도 강제법이 응용된다.
== 역사 ==
[[폴 코언]]이 [[연속체 가설]]의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1073/pnas.50.6.1143|제목=The independence of the continuum hypothesis|이름=Paul J.|성=Cohen|저자링크=폴 코언|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=50|호=6|날짜=1963-12-15|쪽=1143–1148|zbl=0192.04401|pmc=221287|pmid=16578557|jstor=71858|mr=157890|issn=0027-8424|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1073/pnas.51.1.105|제목=The independence of the continuum hypothesis II|이름=Paul J.|성=Cohen|저자링크=폴 코언|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=51|호=1|날짜=1964-01-15||쪽=105–110|zbl=0192.04401|pmc=300611|pmid=16591132|jstor=72252|mr=159745|issn=0027-8424|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The discovery of forcing|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=32|호=4|날짜=2002|쪽=1071–1100|doi=10.1216/rmjm/1181070010|zbl=1040.03037|mr=1987595 |이름=Paul J.|성=Cohen|저자링크=폴 코언|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Paul Cohen and forcing in 1963|이름=Reuben|성=Hersh|날짜=2011-07-21|저널=The Mathematical Intelligencer|권=33|호=3|쪽=138–140|doi=10.1007/s00283-011-9241-4|issn=0343-6993|zbl= 1230.03006|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|url=http://math.bu.edu/people/aki/14.pdf|제목=Cohen and set theory|저널= The Bulletin of Symbolic Logic|권=14|호=3|날짜=2008-09|이름=Akihiro|성=Kanamori|저자링크=가나모리 아키히로|쪽=351–378|doi=10.2178/bsl/1231081371 |issn=1079-8986|zbl=1174.03001|언어=en}}</ref> 코언이 사용한 기법은 [[구성 가능 전체|구성 가능 위계]]를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 '''분기 강제법'''(分岐強制法, {{llang|en|ramified forcing}})이라고 불린다.
이후 [[데이나 스콧]]과 [[로버트 솔로베이]]가 [[완비 불 대수]]를 사용하여 [[구성 가능 전체|구성 가능 위계]]를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.<ref>{{서적 인용|doi=10.1016/S0049-237X(09)70656-1|이름=Gregory H.|성=Moore|권=124|날짜=1987|쪽=143–173|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|장=The origins of forcing|isbn=978-0-444-70326-2 |제목=Logic colloquium ’86. Proceedings of the colloquium held in Hull, U.K., 13–19 July 1986|editor1-first=F. R.|editor1-last=Drake|editor2-first=J. K.|editor2-last=Truss|zbl=0655.03034|언어=en}}</ref>{{rp|163, §7}} 이 기법은 [[조지프 로버트 숀필드]]가 정리하여 '''비분기 강제법'''(非分岐強制法, {{llang|en|unramified forcing}})이라는 이름으로 1971년에 출판하였다.<ref name="Shoenfield">{{서적 인용|last=Shoenfield|first=Joseph Robert|저자링크=조지프 로버트 숀필드|chapter=Unramified forcing|year= 1971 |title=Axiomatic set theory |series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|volume= 13.1|pages= 357–381 |publisher=American Mathematical Society|mr=0280359|doi=10.1090/pspum/013.1/0280359|장url=http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/CourseWeb/Math260_2012F2013W/Shoenfield_UnramifiedForcing.pdf|isbn=978-0-8218-0245-8 |editor1-first=Dana S.|editor1-last=Scott|editor1-link=데이나 스콧|zbl=0245.02056|언어=en}}</ref> 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.
1971년에 [[로버트 솔로베이]]와 [[스탠리 테넨바움]]은 [[수슬린 가설]]의 독립성을 보이기 위하여 '''[[반복 강제법]]'''을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|title=Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem |last=Solovay |first=Robert M. | 저자링크=로버트 솔로베이 |성2=Tennenbaum | 이름2= Stanley |저자링크2=스탠리 테넨바움 |volume=94 |year=1971 |pages=201–245 |doi=10.2307/1970860 |issue=2|저널=Annals of Mathematics |jstor=1970860 | zbl = 0244.02023 | mr= 0294139 |언어=en}}</ref>
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Forcing method}}
* {{매스월드|id=Forcing|title=Forcing}}
* {{nlab|id=forcing|title=Forcing}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/51187/what-is-the-generic-poset-used-in-forcing-really|제목=What is the generic poset used in forcing, really?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/157732/is-the-forcing-relation-defined-for-mathematical-formulas|제목=Is the forcing relation defined for mathematical formulas?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|urll=http://mathoverflow.net/questions/244051/dropping-generic-from-the-definition-of-forcing|제목=Dropping “generic” from the definition of forcing|출판사=Math Overflow|언어=en}}
{{집합론}}
[[분류:집합론]]
[[분류:모형 이론]]
| 