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[[소인수 분해]]를 [[정수환]]에서 보다 일반적인 [[환 (수학)|환]]으로 일반화하는 것은 [[환론]]의 오래된 문제이다. 일부 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]이 [[유일 인수 분해 정역]]이 아니지만 (즉, 환의 원소가 [[기약원]]으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), [[데데킨트 정역]]이라는 것(즉, [[아이디얼]]이 [[소 아이디얼]]로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 [[아이디얼]]의 분해가 대두되었다. 그러나 [[데데킨트 정역]]이 아닌 환들의 경우, [[소 아이디얼]]로의 분해 역시 실패한다.
이를 해결하기 위하여, [[에마누엘 라스커]]가 라스커-뇌터 정리를 [[다항식환]]에 대하여 증명하였고,<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Lasker|저자링크=에마누엘 라스커|제목=Zur Theorie der Moduln und Ideale|저널=Mathematische Annalen|권=60|날짜=1905|쪽=19–116|doi=10.1007/BF01447495|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260093|issn=0025-5831|언어=de}}</ref> 그 뒤 [[에미 뇌터]]가 라스커-뇌터 정리를 일반적 [[뇌터 가환환]]에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Noether|저자링크=에미 뇌터|제목=Idealtheorie in Ringbereiche|저널=Mathematische Annalen|권=83|날짜=1921|쪽=24–66|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|doi=10.1007/BF01464225|언어=de|확인날짜=2016-05-14|보존url=https://web.archive.org/web/20150712144807/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|보존날짜=2015-07-12|
비가환환의 경우, 레옹스 르시외르({{llang|fr|Léonce Lesieur}})와 로베르 크루아조({{llang|fr|Robert Croisot}})가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, [[왼쪽 뇌터 환]]의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.<ref name="Croisot">{{저널 인용|이름=Robert|성=Croisot|제목=Exposé № 22. Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demi-groupes non nécessairement commutatifs (exposé d’une partie d’un mémoire de L. Lesieur et R. Croisot, à paraître au Math. Zeitschrift)|저널=Séminaire P. Dubreil et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres|권=10|zbl=0116.02405|url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1956-1957__10__A20_0|날짜=1957-05-20|언어=fr}}</ref><ref name="Lesieur">{{저널 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|제목=Exposé № 14. Théorie noethérienne des anneaux non commutatifs: une propriété caractéristique des idéaux tertiaires|저널=Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres|권=11|호=2|zbl=0116.26405 |url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1957-1958__11_2_A1_0|날짜=1958-02-17|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|이름2=Robert|성2=Croisot|제목=Extension au cas non commutatif d’un théorème de Krull et d’un lemme d’Artin-Rees. À M. Wolfgang Krull, à l’occasion de son 60<sup>e</sup> anniversaire|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217880X|권=204|날짜=1960|쪽=216–220|mr=0131436|doi=10.1515/crll.1960.204.216|issn=0075-4102|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|이름2=Robert|성2=Croisot|제목=Algèbre nœthérienne non commutative|출판사=Gauthier-Villars & C<sup>ie</sup>|날짜=1963|총서=Mémorial des sciences mathématiques|권=154|mr=155861|zbl=0115.02903|url=http://www.numdam.org/item?id=MSM_1963__154__1_0|언어=fr}}</ref>
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