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등차수열: 두 판 사이의 차이

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40번째 줄:
 
== 등차급수 ==
'''등차급수'''({{문화어|같은차수렬}}, {{llang|en|arithmetic series}})는 등차수열의 합이다. 초항부터 n번째 항까지의 합 <math>S_n</math>는 다음과 같은 공식으로 나타난다.
:<math>S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>
 
이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.
 
:<math>S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n</math> 은, 즉
:<math>S_n = a_na_1 + a_{n-1}(a_1 + d) + \dots + a_2\{a_1 + (n-2)d\} + \{a_1 + (n-1)d\} </math>
:<math>S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1</math> 은, 즉
:<math> = \{a_1 + (n-1)d\} + \{a_1 + (n-2)d\} + \dots + (a_1 + d) + a_1 </math>
:<math>2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)</math>
:<math>2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]</math>
줄 59 ⟶ 61:
사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.
 
:<math>S = -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5</math>
 
<math>S = 0임을0</math>임을 쉽게 알 수 있다.
 
등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다. 즉, 양 끝의 합이 0이 되도록 양 끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다.
 
즉 양끝의 합이 0이 되도록 양끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다.
 
그 평균값을 m이라 하면
 
S:<sub>n</submath>S_n = a<sub>1</sub>a_1 + a<sub>2</sub>a_2 + a<sub>3</sub>a_3 + ... + a<sub>a_{n-2</sub>} +a<sub> a_{n-1</sub>} +a<sub>n a_n </submath>
 
양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.
 
S:<sub>n</submath>S_n - m * n = 0</math>
:<math>S_n = m * n</math>
 
:<math>S_n = \{\frac{(a_1 + a_n)}{2}\} \cdot n</math>
S<sub>n</sub> = m * n
:<math>S_n = \frac{n(a_1 +a_n)}{2}</math>
 
S<sub>n</sub> = (a<sub>1</sub> + a<sub>n</sub>)/2 * n
 
=== 등차수열의 무한합 ===
S<sub>n</sub> = n(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)/2
첫항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열 <math>a_n</math>에 대하여, 이 수열의 무한합 <math> \lim_{n \to \infty} a_n </math>은 항상 발산한다.
 
== 각주 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/등차수열"