과잉수: 두 판 사이의 차이
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* 가장 작은 홀수인 [[과잉수]]는 [[945]]이다. 또한 945부터 5355까지는 서로 630만큼의 등차수열을 이룬다. (즉 5775보다 작은 모든 홀수 과잉수는 315의 배수이다.) 과잉수의 [[배수]]는 언제나 과잉수이므로 짝수 과잉수도 홀수 과잉수도 무수히 많이 있다. 진약수의 일부를 더해서 자기자신이 될 수 있으면 [[반완전수]](semiperfect nunber)이고, 그렇지 못하면 [[기묘수]](weird number)가 된다. [[945]]는 가장 작은 홀수 반완전수이기도 하다.
* 자연수 중 과잉수의 [[점근 밀도]](Asymptotic Density)는 평균 0.2474에서 0.2480 사이로 알려져 있으므로 아무리 많아도 26%를 넘지 않는다.
* 20161보다 큰 모든 정수는 2개의 과잉수의 합으로 표현될 수 있다. (2개의 과잉수의 합으로 표현되지 않는 자연수는 모두 1456개이다.)
* 어떤 수의 진약수의 합이 그 어떤 수보다 1만큼 커지는 과잉수를 [[준완전수]]라고 한다. 이 준완전수는 지금까지 하나도 발견되지 않았다. 또한 준완전수가 존재하지 않는다는 명제도 아직까지 증명되지 않았다.(사이먼 싱 저 페르마의 마지막 정리 한국어 번역본 33쪽) 간혹, 어떤 자연수의 진약수의 합이 자기 자신과 비슷할 경우 그 자연수를 준완전수라고 칭하기도 한다. 진약수의 합에서 자기자신을 뺀 값을 [[초과값]]이라고 하는데, 그 결과가 음수이면 [[부족수]], 0이면 [[완전수]], 양수이면 과잉수이며, 과잉수의 경우 제외할 일부 진약수의 합이 초과값과 일치해야 [[반완전수]]가 된다. [[초과값]]이 홀수이려면 짝수제곱이거나, 짝수제곱에 2의 거듭제곱을 곱해야 하기 때문이다. 3 이상의 홀수를 약수로 가지고, 진약수가 모두 홀수인 자연수는 초과값이 -1이 아니다. 참고로 n이 완전수일 경우에는 n의 소인수의
* 과잉수는 모두 [[합성수]]이며, 모든 소수는 진약수가 1 밖에 없어서 부족수이고, 1도 진약수가 없기 때문에 부족수이다. 그러나 합성수이면서 소인수가 2개 이상, 즉 합성수 중 소수의 거듭제곱수가 아닌 부족수도 아주 많이 있으며, 두 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 임의의 자연수 n에 대하여 (서로 같은 소수예도 상관없다) 약수가 n개인 과잉수는 개수가 한정되어 있다. 또한 세 개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 임의의 자연수 n애 대하여 약수가 n개인 과잉수는 무수히 많이 있다. 특이한 점은 약수가 4개인 과잉수는 없고, 약수가 [[소수 (수론)|소수]]개인 과잉수는 [[소인수분해|소인수]]가 단 하나밖에 없기 때문에 그러헌 과잉수는 존재하자 않는다. 완전수도 자기자신을 제외한 모든 배수가 과잉수인데, [[완전수]] 6의 경우 6n(n은 2 이상인 자연수)의 진약수의 합 중에서 1+n+2n+3n만 해도 6n+1로, 6n보다 크기 때문이다. 또한 완전수의 배수는 모두 반완전수인데, 그 이유는 완전수에 곱한 수만큼의 완전수의 진약수들의 합이 그 수 자신이 되기 때문이다. 예를 들어, 6n의 진약수 중에서 n, 2n, 3n을 더하기만 하면 바로 6n이 되기 때문에 [[반완전수]]이다.
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